Solução 4
a1) retorno esperado para cada ativo isolado:
F
= (16 + 17 + 18 + 19)/4
F
= 17,5%
G
= (17+16+15+14)/4
G
= 15,5%
H
=(14 +15+16+17)/4
H
= 15,5%
a2) Variância e desvio-padrão dos retornos esperados:
kF
= {[(16 – 17,5)2 + (17 – 17,5)2 + (18
– 17,5)2 + (19 – 17,5)2]/4}/10.000
kF
= 0,000125
kF
= 
0,000125
kF
= 0,01118
kG
={[(17 – 15,5)2 + (16 – 15,5)2 + (15
– 15,5)2 + (14 – 15,5)2]/4 }10.000
kG
= 0,000125
kG
= 0,000125
kG
= 0,01118
kH
={[(14 – 15,5)2 + (15 – 15,5)2 + (16
– 15,5)2 + (17 – 15,5)2]/4 }/10.000
kH
= 0,000125
kH
= 0,000125
kH=
0,01118
4b) covariância e coeficiente de correlação linear:
CovG,H
= {[(17 -15,5) . (14 – 15,5) + (16 -15,5) . (15 – 15,5) +
(15 – 15,5) . (16 – 15,5) + (14 – 15,5).(17 –
15,5)]/4}/10.000
CovG,H = -0,000125
Observe que:
• No Ano 1, enquanto o retorno esperado do Ativo G se apresenta
acima do retorno médio esperado (17% >15,5%), no Ativo H, o
retorno esperado se apresenta abaixo da média (14% < 15,5%),
logo, os retornos esperados se apresentam em sentidos contrários,
enquanto um anda acima da sua média, o outro anda abaixo da sua
média, portanto, a correlação é negativa (isto
é ótimo).
• No Ano 2, enquanto o retorno esperado do ativo G anda acima da média (16% > 15,5%), o retorno estimado para o ativo H anda em sentido contrário (15% < 15,5%), ou seja, ambos os retornos esperados se comportam em sentido contrário ao das suas médias, logo, novamente estamos diante de uma correlação negativa, o que é muito bom. Deve-se sempre perseguir correlação negativa.
• O mesmo processo pode ser observado para o Ano 3 e para o Ano 4. Em muitas situações, como neste exemplo, se percebe o sinal da covariância sem ser necessário o cálculo, basta olhar o comportamento dos retornos esperados ou observados com seus respectivos retornos médios esperados ou observados.
rGH = -0,000125/0,01118
x 0,01118
rGH = -1,0 (correlação perfeitamente negativa)
CovF,G = {[(17 -15,5) . (16 – 17,5) + (16 -15,5) . (17
– 17,5) + (15 – 15,5) . (18 – 17,5) + (14 – 15,5).(19
– 17,5)]/4}/10.000
CovF,G = -0,000125
rF,G = -0,000125/0,01118 x 0,01118
rF,G = -1,0 (correlação perfeitamente negativa)
CovF,G
= {[(14 -15,5) . (16 – 17,5) + (15 -15,5) . (17 – 17,5) +
(16 – 15,5) . (18 – 17,5) + (17 – 15,5).(19 –
17,5)]/4}/10.000
CovF,G = 0,000125
Observe que:
Ano 1: tanto o retorno esperado de F quanto o retorno esperado de H andam no mesmo sentido (correlação positiva), isto é, ambos operam abaixo das suas respectivas médias.
Ano 2: assim como ocorreu no Ano 1, ambos os retornos esperados estão andando abaixo das respectivas médias, ou seja, andando no mesmo sentido (correlação positiva);
Ano 3: ambos os retornos esperados estão andando acima das suas respectivas médias (18% >17,5%) e (17% >15,5%), novamente, correlação positiva.
Ano 4: idem o observado
no Ano 3.
rF,H = 0,000125/0,01118 x 0,01118
rF,H = 1,0 (correlação perfeitamente positiva)
Veja que o sinal do coeficiente é igual ao sinal da covariância.
4c) cálculo do retorno de cada carteira/desvio-padrão de cada carteira:
Carteira 40% de G
e 60% de H
P
= (0,40 x 15,5) + (0,60 x 15,5)
P
= 15,5%
PG,H
=0,42
x 0,000125 + 0,62 x 0,000125 + 2,0 x 0,4 x 0,6 x -0,000125
PG,H
= 0,0022 x 100
PG,H
= 0,22%
Média ponderada
dos desvios-padrão dos ativos individuais
MP = (0,4 x 1,118) + (0,6 x 1,118)
MP = 1,118%
Percebemos que a diversificação reduziu muito o risco, pois, na carteira com dois ativos, o risco total é igual a 0,22%, enquanto a média ponderada dos desvios padrão dos títulos individuais alcançou 1,118%. O motivo para esta queda significativa do risco deve-se ao fato de estarmos diante de uma dupla de ativos que apresenta correlação perfeitamente negativa.
Carteira 60% de F
e 40% de G
P
= (0,60 x 17,5) + (0,40 x 15,5)
P
= 16,7%
PF,G
=0,62
x 0,000125 + 0,42 x 0,000125 + 2,0 x 0,6 x 0,4 x -0,000125
PF,G
= 0,22%
Média ponderada
dos desvios-padrão dos ativos individuais
MP = (0,6 x 1,118) + (0,4 x 1,118)
MP = 1,118%
Novamente, em função do par de ativos apresentarem um coeficiente de correlação linear igual a -1,0, percebemos uma forte redução no risco total medido pelo desvio-padrão, que passou de 1,118% para 0,22%.
Carteira 70% de F
e 30% de H
P
= (0,70 x 17,5) + (0,30 x 15,5)
P
= 16,90%
PF,G
=0,72
x 0,000125 + 0,32 x 0,000125 + 2,0 x 0,7 x 0,3 x 0,000125
PF,G
= 0,01118 x 100
PF,G
= 1,118%
Média ponderada
dos desvios-padrão dos ativos individuais
MP = (0,7 x 1,118) + (0,3 x 1,118)
MP = 1,118%
Neste caso, para qualquer composição de carteira entre os ativos F e H, o desvio-padrão dos retornos esperados da carteira será sempre igual à média ponderada dos desvios-padrão dos retornos esperados dos títulos individuais. Assim, seria indiferente colocar o dinheiro numa carteira com apenas um ativo ou colocar o dinheiro numa carteira com dois ativos diferentes porque o risco total (medido pelo desvio-padrão) não sofreu nenhuma redução. Observe que neste par de ativos o coeficiente de correlação linear é igual a 1,0.
Logo, somente diante de pares de ativos com coeficiente de correlação linear menor do que 1,0 é que será possível ocorrer diminuição do risco total entre uma carteira com dois ativos diferentes e uma carteira com ativo individual (isolado).