Solução 9

9a) carteira composta por 60% da Coca-Cola e 40% da Texas

_P = (0,6 x 25) + (0,4 x 12)
_P = 19,8%
_P = 0,6² . 36² + 0,4² . 22² + 2,0 . 0,6 . 0,4 . 36 . 22 . 0,28
_P = 25,50%

Você poderia calcular o desvio-padrão da carteira a partir da covariância, para tanto se faz necessário calcular a covariância:

Cov_{Coca-Cola,Texas} = 0,28 x 0,36 x 0,22
Cov_{Coca-Cola,Texas} = 0,022176
_P = 0,6² . 0,36² + 0,4² . 0,22² + 2,0 . 0,6 . 0,4 . 0,022176
_P = 0,2550 x 100

_P = 25,50%

Calcular a média ponderada dos desvios-padrão dos títulos individuais:

MPDP = (0,6 x 36) + (0,4 x 22)
MPDP = 30,40%

Logo, 25,50% < 30,40%, qual a causa? O fato de o coeficiente de correlação linear ser < +1,0.

9b) Cálculo da carteira de variância mínima, também conhecida por carteira de menor variância.

Nós iremos operar, na verdade, a carteira de menor desvio-padrão. Para encontrarmos a carteira de menor desvio-padrão, devemos primeiro calcular o peso de cada um dos ativos na carteira:

Fórmula geral:

w_X = (_Y – Cov_X,Y)/ [(_X + _Y) – (2 . Cov_X,Y)]
w_Y = (_X – Cov_X,Y)/ [(_X + _Y) – (2 . Cov_X,Y)]

Para o nosso exemplo temos:

w_Coca-Cola = (_Texas – Cov_{Coca-Cola,Texas})/ [(_Coca-Cola + _Texas) – (2 . Cov_{Coca-Cola,Texas})]
w_Coca-Cola = (0,22² – 0,022176)/[(0,36² + 0,22²) – (2 x 0,022176)]
w_Coca-Cola = 0,026224/0,133648
w_Coca-Cola = 0,1962 x 100

w_Coca-Cola = 19,62%

Como o somatório dos pesos tem que ser igual a 1,0 ou 100%:

w_Texas = 1,0 – 0,1962
w_Texas = 0,8038 ou 80,38%

Portanto, a carteira com menor variância será composta por 19,62% da Coca-Cola e 80,38% da Texas.

Retorno da carteira de menor variância:

_P = (0,1962 x 25) + (0,8038 x 12)
_P = 14,55%

Desvio-padrão da carteira:

_P = 0,1962² . 0,36² + 0,8038² . 0,22² + 2,0 . 0,1962 . 0,8038 . 0,022176
_P = 0,2080 x 100

_P = 20,80%

O que significa a carteira de menor variância (na verdade a carteira de menor desvio-padrão, porque se fossemos calcular a carteira de menor variância o valor encontrado seria = 0,2080² = 0,043264)?

O desvio-padrão e a variância da carteira de dois ativos é uma função da correlação entre os retornos dos dois ativos. Quanto maior a correlação dos retornos entre os dois ativos, menor o benefício da diversificação. A carteira de menor variância é uma carteira que funciona como uma espécie de divisor de águas. Por quê? Neste exemplo, qualquer carteira com retorno superior a 14,55% irá apresentar desvio-padrão da carteira > 20,80%. Por sua vez, qualquer carteira com retorno < 14,55% irá apresentar desvio-padrão da carteira > 20,80%.

Neste exemplo, investidores com maior aversão ao risco irão escolher a carteira de menor variância. Na medida em que carteiras formadas pelo par de ativos composto pela Coca-Cola e pela Taxas Utilities, se afastarem da carteira de menor variância, menor será a aversão ao risco, porque o investidor irá aceitar risco esperado maior, porém, com retorno esperado também maior.

Nenhuma carteira abaixo da carteira de menor variância seria escolhida, porque seria um comportamento irracional do investidor: aceitar carteira com risco esperado maior e retorno esperado menor que o da carteira de menor variância não faz qualquer sentido. Não esqueça que estamos supondo que o nosso investidor típico é uma pessoa com aversão ao risco.

Mais uma vez você deve estar observando que existe uma preocupação com a aversão ao risco. Quanto maior a aversão, menor será a vontade por parte do investidor em se expor ao risco. Por outro lado, quanto menor a aversão ao risco, maior a disposição para correr risco, no entanto, maior também será a exigência de maiores retornos.

9c) Coca-Cola: retorno esperado = 25%; desvio-padrão esperado = 45%; Texas Utilities: retorno esperado = 12%; desvio-padrão = 22%. Coeficiente de correlação = 0,20.

Retorno esperado da carteira será o mesmo, logo:

_P = (0,6 x 25) + (0,4 x 12)
_P = 19,8%

Desvio-padrão da carteira:

_P = [0,6² . 0,45² + 0,4² . 0,22² + 2,0 . 0,6 . 0,4 . 0,45 . 0,22 . 0,20] x 100
_P = 30,02%
MPDP = [(0,6 x 0,45) + (0,4 x 0,22)] x 100
MPDP = 35,80%

Carteira de menor variância, na verdade de menor desvio-padrão:

w_Texas = (_Coca-Cola – Cov_{Coca-Cola,Texas})/ [(_Coca-Cola + _Texas) – (2 . Cov_{Coca-Cola,Texas})]
w_Texas = (0,45² – 0,022176)/[(0,45² + 0,22²) – (2 x 0,022176)]
w_Texas = 0,180324/0,206548
w_Texas = 0,8730 x 100

w_Texas = 87,30%
w_Coca-Cola = 1,0 – 0,8730
w_Coca-Cola = 0,1270 ou 12,70%

Retorno da carteira de menor variância:
_P = (0,1270 x 25) + (0,8730 x 12)
_P = 13,65%

Desvio-padrão da carteira:
_P = 0,1270² . 0,45² + 0,8730² . 0,22² + 2,0 . 0,1270 . 0,8730 . 0,45 . 0,22 . 0,20
_P = 0,2110 x 100

_P = 21,10%

Observamos que a nova situação proposta pelo autor deste exemplo, Damodaran (2004), nos mostra que a maior exposição da Coca-Cola no resto do mundo irá aumentar a dispersão dos seus retornos esperados (aumento do desvio-padrão), este aumento irá provocar uma maior incerteza na carteira.

A dupla de ativos Coca-Cola/Texas Utilities sinaliza o mesmo retorno esperado para a composição 60%/40%, porém, o novo desvio-padrão da carteira subiu em função do aumento do risco da Coca-Cola. O aumento no risco da carteira foi menos que o proporcional ao aumento do desvio-padrão da Coca-Cola (17,72% contra 45%), em função da melhora do coeficiente de correlação linear (caiu de 0,28 para 0,20). Para a carteira de menor desvio-padrão, o retorno esperado da carteira caiu, enquanto o desvio-padrão aumentou. A queda do retorno esperado da carteira deve-se ao aumento da participação da ação da Texas. O aumento do risco da carteira foi decorrência, também, da maior dispersão nos retornos esperados da Coca-Cola.