1 - Operações fundamentais

Não é apenas o fato de ser o idioma do Cosmo, de ser encontrada por toda a parte, das partículas da matéria até os aglomerados de galáxias, que confere à Matemática seu fascínio especial. Aqueles que a ela se familiarizam acabam por adquirir, através de contínuo treinamento, a faculdade de pensar com maior clareza, de enxergar mais luz neste mundo, indiscutivelmente complexo.

Trataremos na disciplina de Matemática Aplicada a Administração de trabalhar os conceitos de Matemática visando desenvolver essa faculdade de pensar com mais clareza e também aprender um pouco da sua vasta aplicação no curso de Administração de empresas.
Tudo que será pedido para se adquirir esta aprendizagem é um treinamento contínuo, após a leitura de cada módulo todos os exercícios devem ser feitos e as tarefas extras também.

Não se pode afirmar com certeza onde poderia ser localizado o início da matemática. Registros arqueológicos indicam que há cerca de 50.000 anos houve uma grande revolução em nossa espécie. As ferramentas tornaram-se mais sofisticadas, produzidas em maior quantidade e o homem passou a dispor de tecnologia que lhe permitiu realizar longas viagens pelo mar. Foi por esta época que se chegou à Austrália, através de pelo menos 90 km de oceano, coisa que exigia a construção de barcos razoavelmente especializados, além de algum planejamento, muito provavelmente alguma matemática deve ter sido utilizada, ainda que rudimentarmente.
Como se vê, a estória é muito antiga e nos dá uma importantíssima lição: ninguém deve sentir-se frustrado ou desanimar se não conseguir aprender alguma coisa de matemática na primeira tentativa. Afinal, demoramos muitos milênios para chegar até aqui.

Nesta seção procuraremos revisar algumas operações aritméticas básicas. Sugerimos, mesmo se o conceito parecer muito fácil, que sejam feitos todos os exercícios da seção.

Adição e Subtração - Somar e subtrair é muito fácil, não é?! Esperamos que sim. Nesta subseção trataremos de somar e subtrair números inteiros e números racionais (números em forma de frações).

Existe até mesmo um dispositivo prático para somar dois números, que pode ser utilizado não apenas para somar números, mas também para somar expressões (mas isto é uma outra história).

Para efetuar 4594+798, utilizando o dispositivo, escrevemos os números da seguinte forma:

Soma-se da direita para a esquerda. No caso acima, se soma primeiro 4 com 8, obtendo 12, escreve-se o 2 abaixo do 8 e leva-se o 1 do 12 para cima do 9, soma-se agora o 1 com o 9 obtendo 10 e depois com o outro 9, obtendo 19, coloca-se o nove abaixo do 9, sobe-se o 1 e assim por diante.

Muito fácil, não é? A complicação começa quando os números têm sinais diferentes. Nesta hora recomendamos que seja feita uma associação com saldo bancário, número com sinal positivo significa crédito e número com sinal negativo significa débito.

Se nos deparamos com a seguinte conta 2-3, dizemos que temos um crédito de 2 e um débito de 3, então nosso saldo será um débito 1, ou seja, saldo igual a -1.

Notação: Os termos envolvidos em uma adição recebem o nome de parcelas e o resultado da adição de dois números recebe o nome de soma.

A regra geral é:

Veja os exemplos:

a) 2 + 3 = 5
b) (-3) + (-4) = -7
c) (-5) + (3) = -2
d) (-3) + (7) = 4
e) (-2) + (5) + (-4) = -1

Na subtração a coisa não muda tanto. Na verdade podemos encarar uma subtração como uma soma. Por exemplo, 5 – 4 = 5 + (-4) = 1. Entendeu? É só utilizar as regras da adição. Outro exemplo: (-2) – (-5) = (-2) + (5) = 3. De uma forma geral,

Veja os exemplos:

a) (-20) – (30) = (-20) + (-30) = -50
b) 13 – (-18) = 13 + (18) = 31
c) (-12) – (5) – (-38) = (-12) + (-5) + (38) = 21

Se desejar, vá para a clínica e faça mais exercícios.
Fica aqui um desafio que utiliza operações com inteiros.

Desafio:

Quando são 16 horas em Cuiabá, que horas são:
                  a) em Salvador?
                  b) em Rio Branco?
                  c) em Manaus?

Quer conferir?

Desafio:
Os resultados dos balanços de 5 anos da empresa M&N estão representados no gráfico abaixo:

a) Contando os cinco anos, a empresa está acumulando lucro ou prejuízo? De quanto?
b) E contando apenas os três últimos anos?

Veja a resposta

E se os números que desejamos somar ou subtrair forem racionais?

Resumidamente, um número racional é um número na forma  com a e b inteiros e b0. São exemplos de números racionais, . Um número racional é formado por um numerador (o número de cima) e um denominador (o número de baixo).

Vamos às regras gerais:

Exemplo:

O símbolo (-) significa que estamos dividindo o numerador pelo denominador, essa divisão pode ser exata, foi o que aconteceu no primeiro exemplo acima , ou pode não ser exata como no exemplo b) também conhecida por dízima periódica.

Existem muitos números racionais que representam o mesmo número, como por exemplo .
Para melhor explicação sobre números racionais recomendamos a clínica de matemática.

Operações Aritméticas

Muitos alunos não se lembram de operações básicas em matemática, isto se deve ao fato de não usarem muito no dia a dia, revisaremos estas operações nesta unidade. Quando as operações envolvem apenas números podemos facilmente resolvê-las apenas com uma calculadora, mas nem sempre trabalharemos apenas com números, diria mais, ao final desta clínica trabalharemos muito pouco com números. Começaremos a introduzir letras (variáveis) nas expressões nesta unidade e as calculadoras não operam com letras, pelo menos a maioria delas.

Números Inteiros

Ao examinar um extrato bancário podemos nos deparar com o problema retirar mais do que termos em conta o que acaba nos colocando em débito com o banco. Por exemplo, tenho de saldo em minha conta corrente R$100,00 retiro R$ 120,00, qual o meu saldo após esta transação?
Sem muito esforço, a resposta a esta pergunta seria um débito de R$ 20,00.

Matematicamente, esta conta é feita da seguinte maneira

Ou seja, o débito é representado pelo símbolo -.
O conjunto dos números onde essa operação pode ser realizada é chamado de conjunto dos números inteiros e é denotado pelo símbolo .

Operações como 5-3=2 são feitas com naturalidade outras operações, que envolvem inteiros, apesar de usarmos muito no nosso dia a dia, não são tão familiares a muitas pessoas como, por exemplo, -7-3= -10
Associe as operações com números inteiros com extrato em conta corrente, se isto facilitar seu entendimento do assunto. Para débito coloque o símbolo - na frente do número e crédito coloque + ou não coloque nenhum símbolo. Daí, para operarmos -7-3 , nesta analogia, teríamos:

Exemplos:

a) 3 -7=-(7-3)=-4
b) 8-10=-(10-8)=-2
c) -20-10=-30

No conjunto dos números inteiros,, efetuamos, sem restrições, adições, multiplicações e subtrações. Persiste, ainda, uma possibilidade: o quociente (divisão) entre dois números inteiros que pode não ser inteiro.
De fato, considere o problema de dividir em partes iguais quatro metros de uma corda para duas pessoas, então cada pessoa receberia 2 metros de corda. E agora, se quiséssemos dividir 1 metro de corda para 2 pessoas quanto daria para cada pessoa? A resposta seria meio metro para cada pessoa.
O número que representa o meio, é um exemplo de um número que não é inteiro. Na verdade ele é obtido da divisão de um inteiro, no caso, o 1 por outro inteiro, no caso, o 2, representamos tal número por :

O conjunto numérico que contém as divisões dos inteiros é denominado o conjunto dos números racionais,

Vejamos o tratamento matemático e preciso do assunto.

Números Racionais

Da impossibilidade de efetuar a divisão, para todos a e b de , introduzimos os números racionais, .

Observação:
Temos que pois se então . Por exemplo .Todo número racional pode ser representado na forma decimal, e podemos ter dois caso:

1^o caso- a representação decimal é finita:

2^o caso- a representação decimal é infinita periódica:

Para obter a representação decimal de um número racional , basta dividir a por b. As representações da forma infinita periódica são as chamadas dízimas periódicas.
Reciprocamente, se temos a representação decimal de um número racional, podemos obtê-lo na forma racional, , vejamos.

Suponhamos que x=0,66666.... . Encontre uma representação na forma racional para x.

Multiplicando ambos os membros por 10, temos

Subtraindo membro a membro, isto é,

Obtemos:         9x=6

Logo

Se x=0,52222... , Multiplicamos ambos os membros primeiro por 10 e depois novamente por 10:

10x=5,222...

e

100x=52,222...

Subtraindo membro a membro, temos :

Obtemos

90x=47

Logo

Números Reais

Os números racionais não bastam para exprimir todas as medidas possíveis. Por exemplo, dado um quadrado de lado 1 se chamarmos de d a sua diagonal, pode-se mostrar que não existem números racionais positivos m e n tais que Na verdade o número d é denotado por que não é um decimal finito e nem uma .dízima periódica.

Definiremos o conjunto dos números reais,  como sendo o conjunto do racionais mais a dízimas não periódicas.

Logo   

Operações em

Em estão definidas duas operações. A adição, que a cada par ordenado (a,b) de números reais associa um único número real a+b, chamado soma de a e b e a multiplicação, que associa a.b, chamado de produto de a por b. Costuma-se, quando for conveniente, omitir o ponto, e escrever ab em lugar de a.b. Na soma a+b, a e b são referidos como parcelas, ao passo que no produto ab, a e b são referidos como fatores.

Exemplo:

a) 2+5
b) 7 . 3

Onde está a divisão e a subtração? Na verdade estas operações serão definidas a partir da multiplicação e da adição.

Só com a noção de operação pode-se concluir que vale a seguinte regra (a, b e c são números reais):

Regra da Balança. Se a=b, então a+c=b+c e ac=bc.

Propriedades básicas das operações de adição e multiplicação

Propriedade comutativa. Quaisquer que sejam os números reais a e b, tem-se:

a+b=b+a
a.b=b.a

Podemos então escrever

a) 2+5=5+2
b) 3.4=4.3

Propriedade Associativa. Quaisquer que sejam os números reais a, b e c, tem-se:

Observação:
Por causa disso, omitem-se os parênteses. Escreve-se, respectivamente, a+b+c e abc. Esta propriedade se generaliza para o caso de diversos números. Assim, a+b+c+d indica qualquer dos números que se obtém colocando parênteses, o mesmo sucedendo com abcd.

Exemplo:

a)(2+5)+3=2+(5+3), que se indica por 2+5+3
b)(4.9).5=4.(9.5), que se indica por 4.9.5

Elemento Neutro. Existem únicos números reais, indicados por 0 e 1, com , tais que, para qualquer número real a, verifiquem

a + 0 = a
a.1 = a

Exemplo:

a) 5.1=5
c) 1256+0=1256

Elemento oposto e elemento inverso.

- Dado um número real a, existe um único número real indicado por -a, chamado oposto de a, tal que

- Dado um número real  , existe um único número real, indicado por  , e também por , chamado inverso de a, tal que

Exemplo:

a) 3+( -3)=0

b)

Propriedade Distributiva. Quaisquer que sejam a, b e c reais, tem-se

Exemplo:

Em particular, colocando a=-1 na propriedade distributiva, temos

Exemplo:

a) -9-3=-(9+3)=-12

b) -(14+3)= -17

Agora tudo que foi visto será empregado nas regras básicas para realizar operações no dia a dia.

Exercícios

Operações com frações

Lembra-se dos números Racionais? Pois é, somar e multiplicar números racionais não é feito da mesma forma que nos números inteiros. Por não ser muito utilizado no dia a dia, muitas pessoas se esquecem como proceder a operações com frações.

Aqui será feita uma revisão com muitos exemplos, procuramos não utilizar o conceito de mínimo múltiplo comum (MMC), quem tem muita familiaridade com esse procedimento fique a vontade para utilizá-lo nos exercícios, mas procure entender o método que vou apresentar pois será muito útil quando não estivermos trabalhando com números na parte de baixo da fração (denominador).

Uma fração é um número da forma com a e b reais e b¹0 a é b dito numerador da fração e b denominador. Algumas considerações devem ser tomadas quando operamos números fracionários.

Observação:
Para qualquer a temos e, como já foi dito anteriormente,
Pela lei distributiva, para realizar a operação podemos proceder da seguinte forma:

Ou seja,

Somar frações de mesmo denominador, conserva-se o denominador e soma-se os numeradores.

Exemplo:
   
   

Como somar frações se os denominadores forem diferentes?

Antes de responder esta pergunta, vejamos que

Com números,

O que fizemos foi multiplicar um valor por 1, o qual é o elemento neutro da multiplicação.
Agora podemos responder a pergunta, utilizaremos letras para representar números.

Se quisermos somar

colocaremos as duas frações no mesmo denominador, isto feito sem alterar a expressão, da seguinte forma

e quando os denominadores são iguais procedemos como no caso fácil. Conserva-se o denominador e soma-se o numerador,o que resulta em

Ou seja, a regra geral para somar frações de denominadores diferentes é:

Exemplo:

Para multiplicar frações procedemos da seguinte forma:

Ou seja,

Para multiplicar frações, multiplica-se os numeradores e denominadores de cada fração.

Exemplo:

Em particular, temos:

Exemplo:

Para dividir duas frações, invertemos e multiplicamos, isto é,

Ou seja,

Para dividir uma fração pela outra, deve-se multiplicar a primeira pela fração obtida da segunda permutando numerador e denominador.

Exemplo:

Igualdade entre frações,

Exemplo:

Observação:

Muitas vezes recorremos a regra do cancelamento para reduzir uma fração a outra com denominador e numerador de menor valor.

Exemplo:

Geralmente deparamos com expressões em que temos que realizar mais que uma operação para podermos determinar o seu valor.
Procedemos da mesma forma, fazendo uma operação por vez.
Uma atenção deve ser tomada quando realizamos divisões onde apenas um dos termos aparece como uma fração explicitamente, neste caso reescrevemos o número na forma fracionária.

Exemplo:

Neste item utilizamos algumas operações que talvez não tenha entendido depois da distributiva apareceu um x^2. Veremos melhor o assunto em potenciação, o próximo tópico.

Potenciação

Introduziremos aqui uma notação que terá como intuito facilitar a representação de multiplicações repetidas, isto é, se quisermos por exemplo multiplicar 5 por ele mesmo 2 vezes, procedemos da seguinte forma:

5.5

Agora se quisermos multiplicar 5 por ele mesmo 100 vezes, se tornaria um trabalho exaustivo escrever 5 cem vezes. O que podemos fazer para representar esta multiplicação é colocar os primeiros valores e depois o último valor e comentar que a multiplicação possui 100 fatores, confuso?! Vejamos:

Para facilitar esta representação introduzimos a notação 5¹⁰⁰ que significa que estamos multiplicando 5 por ele mesmo 100 vezes. Tal representação recebe o nome de potência. E as operações que podemos realizar com as potências, de potenciação.
Vamos formalizar o exposto acima.
Seja a um número positivo e seja n um inteiro positivo. Então:

a é dito base da potência e n é dito expoente da potência.

Observação:

Utilizamos esta notação mesmo se o expoente for racional, veremos a seguir.
Podemos utilizá-la mesmo se o expoente for uma dízima não periódica, mas trabalhar com esse tipo de representação foge ao objetivo desta clínica.

Vejamos agora, alguns casos particulares de potências.

Propriedades

Para qualquer a positivo e n inteiro, temos:

Ou seja, qualquer número positivo elevado a 0 é igual a 1. Foi dito positivo, veremos nesta clínica que a base pode ser negativa, mas nunca a base poderá ser nula.
Isto é, 0⁰ não está definido, entendido! De novo, 0⁰ não está definido. Novamente o problema com o zero.

Por exemplo, . Em outras palavras, quando passamos uma potência do denominador para o numerador, ou vice-versa, trocamos o sinal do expoente.

Como já foi mencionado, podemos ter expoentes fracionários em uma potência. Temos, neste caso, um radical. Assim  é o mesmo que . Quando n=2 dizemos que temos uma raiz quadrada e escrevemos apenas para representar .

, onde m é um inteiro.

E se tivermos, por exemplo, ? A representação de é ou, se preferir, .

Como calcular um número elevado a uma fração?

Vejamos com números.

Calcule . Ora, pelo que foi dito .E daí?!
Na verdade quando pedimos para calcular queremos obter um número x tal que x² seja igual a 4. Você sabe de algum número que multiplicado por ele mesmo dê 4?

Pensou?

É o 2!!

Então pois 2² = 4. E assim temos, por exemplo, que é um número que multiplicado por ele mesmo 3 vezes seja igual a 64. No caso é o 4 pois 4³=4.4.4=64
pois -2. -2. -2= -8.

pois 4.4=16

Algumas raízes não conseguiremos calcular se nos restringimos a valores reais apenas. (Como já foi dito nesta clínica e em todo o curso de graduação em administração trabalharemos apenas nos reais, ¡), por exemplo:

Calcule , ou seja, encontre um número que multiplicado por ele mesmo dê como resultado - 4. Conseguiu!? Quem pensou em -2, pensou errado, pois -2. -2 é igual a 4 e não -4.

Então vamos formalizar tudo o que foi dito.
significa que xⁿ = a e se n for par então x³0 e a³0. O símbolo é dito "raiz n de ..."
Não existe raiz par real de número negativo

Exemplo:

Alguns números não possuem raiz exata, por exemplo o 2. Que número multiplicado por ele mesmo que resulta em 2?

Se você pensou no 1, errou, pois 1.1=1 e não 2. Se pensou no 2, também errou, pois 2.2=4. Pelo que vemos este número tem que ser maior que 1 e menor que 4. Vamos tentar descobrir que número é este. Veja a tabela.

Na verdade o número que multiplicado por ele mesmo e dê 2 não possui u
ma quantidade finita de números após a vírgula e, mais, os números após a vírgula não são periódicos. é aproximadamente igual a 1,4142135623730950488016887242097... Foi dito aproximadamente, não é possível determinar com exatidão o número pois o mesmo possui infinitas casas após a vírgula.

Existe uma infinidade de números que não tem raiz exata, exemplo , etc. Quando tais números aparecerem o melhor é deixá-los em suas representações com o símbolo de raiz .

Como operar com potências?

Veremos como operar potências na propriedade a seguir e fixaremos com exemplos e exercícios.

Propriedades

Sejam a e números positivos e seja r e s números racionais. Então:
1)
Em outras palavras, multiplicar potências de mesma base conserva-se a base e somam-se os expoentes.
2)
Dividir potências de mesma base, conserva-se a base e subtraem-se os expoentes.
3)
Potência de potência. Conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes.
4)
A potência do produto de duas bases é igual ao produto das potencias de cada base.
5)
A potência da divisão de duas bases é igual a divisão das potências de cada base.

Cuidados devem ser tomados quando não estamos em uma mesma base, pois nem todas as propriedades são válidas para potências de bases diferentes. Uma forma de trabalhar com bases diferentes é tentar colocar tudo em uma mesma base quando for possível.

Exemplos:

g) Calcule a expressão dada usando as propriedades de potenciação.

Resolução:

h) Resolva a equação dada para n.

Resolução:

Exercícios

1)Qual é a soma de ?
	a)5
	b)1
	c)4
	d)2
	e) nda
	Resposta:

2)Calcule o valor de ?
	a)
	b)
	c )
	d)
	e) nda
	Resposta:

3)Calcule a soma e marque a opção correta?
	a)
	b)
	c)
	d)
	e) nda
	Resposta:

4)Ache o valor de ?
	a)
	b) -
	c)
	d)
	e) nda
	Resposta:

5)Qual é a diferença ?
	a)
	b)
	c)
	d)
	e)nda
	Resposta:

6)Qual é o valor da expressão ?
	a)
	b)
	c)
	d)
	e)nda
	Resposta:

7)Reduza a seguinte fração a outra com numerador e denominador de menor valor possível?
	a)
	b)
	c)
	d)
	e) nda
	Resposta:

8)Reduzir a seguinte fração, :
	a)
	b)
	c)
	d)
	e) nda
	Resposta:

9)Calcule o valor de ?
	a)
	b)
	c)
	d)
	e) nda
	Resposta:

10)Ache o valor de .
	a)
	b)
	c)
	d)
	e) nda
	Resposta:

Exercícios

11)Aplicando as propriedades da potenciação calcule o valor de ?
	a)4
	b)8
	c)16
	d)32
	e) nda
	Resposta:

12)Expresse na forma de um número inteiro?
	a)1000
	b)800
	c )600
	d)4000
	e) nda
	Resposta:

13)Simplificando , obtemos:
	a)
	b)
	c)
	d)
	e) nda
	Resposta:

14)A expressão é equivalente a:?
	a)
	b)
	c)
	d)
	e)
	Resposta:

15)Calcule o valor da expressão ?
	a)1
	b)-1
	c)2
	d)-2
	e)nda
	Resposta:

16)Indique a alternativa errada:
	a)
	b)
	c)
	d)
	e)
	Resposta:

17)Calcule :
	a)
	b)
	c)
	d)
	e) nda
	Resposta:

18)O valor da expressão é :
	a)1
	b)
	c)
	d)
	e) nda
	Resposta:

19)A expressão é igual a:
	a)1
	b)2
	c)-1
	d)-2
	e)0
	Resposta:

20)Simplificando a expressão: e sabendo que a e b são números reais maiores que zero, obtemos:
	a)a+b
	b)ab
	c)
	d)
	e)
	Resposta:

Consequência das Regras Básicas

Cancelamento

Suponha que a+b=c. Para isolar a no primeiro membro, como se deve proceder?
Muito simples, pela regra da balança, pode-se somar -b em ambos os membros da igualdade, para obter:

a+b+(-b)=c+(-b)

Como b+(-b)=0, tem-se a=c+(-b), Portanto:

Pode se passar uma Parcela de um membro para outro, desde que se tome seu oposto.

Exemplo:

Se 4+x=10, então x=10+(-4)=6

Observação:

Costuma-se indicar a+(-b) por a-b . Assim, 10+(-4)=10-4.

Suponha agora que ab=c, b¹0. Para isolar a, multiplica-se ambos os membros da igualdade por , o que é permitido pela regra da balança. Obtendo:

e como , a.1=a, o primeiro membro vale a, de modo que

Portanto:

Pode se passar um Fator, não nulo, de um membro para outro, desde que se tome seu inverso.

Observação:

Costuma-se indicar .

Exemplo:

Se 2x=3, então .

Agora pode-se resolver a seguinte equação na incógnita x, (3x+12)=15 (Isto quer dizer que se pode determinar o valor de x). De fato, passando 12 para o segundo membro, obtem-se:

3x=15-12,

ou seja,

3x=3,

e daí,

.

Observação:

a) Se a+b=a+c então b=c
b) Se ab=ac e a¹0 então b=c

Exemplo:

Resolva a seguinte equação:

3+x=3+4

então, cancelando os termos iguais em ambos os lados,

resultando

x=4

É desta forma que procedemos no dia a dia, cancelamos fatores iguais em ambos os lados da igualdade. O que está por traz disto, como dito acima, é a regra da balança. Estamos somando, no caso, -3 em cada lado da igualdade.

Observação:

O que é um absurdo!!

Anulamento

Regra do fator nulo. Qualquer que seja a real,

a.0=0.a=0

Em outras palavras, se multiplicarmos qualquer número por zero obteremos zero.
Regra do produto nulo. Sendo a e b números reais, tem-se:

Em outras palavras, se o produto de dois números é zero então pelo menos um dos dois números deve ser zero, podendo ser ambos.

Exemplo:
Pela regra do fator nulo podemos escrever:

a) 0.(3s+67b-1)=0
b) 0,45.0=0
c)1000000.0=0

Pela regra do produto nulo podemos resolver equações da forma:

De fato, ou

ou

Portanto o conjunto solução é

{3,-4}

Observação:

Podemos generalizar as regras para mais valores, isto é, temos que:

1)

2) a.b.c.d=0 então ou a=0 ou, b=0 ou , c=0 ou d=0.

Regras de sinal

Para quaisquer a e b reais, tem-se:
1) -(-a)=a (Menos vezes menos dá mais)
2) (-a)b=-(ab)=a(-b) (Menos vezes mais dá menos e mais vezes menos também da menos)
3) (-a)( -b)=ab (Menos vezes menos dá mais)

Exemplo:

a) -(-3)=3
b) (-4)6= -(4.6)= 4(-6)
c) (-7)( -5)=7.5

Exercícios

8) Qual o conjunto solução da equação a seguir?
(x-1)(x+4)(4x-1)=0
	a)
	b) {1,0}
	c)
	d) {0}
	e) {1,-1,4}
	Resposta:

10) Qual a solução da equação 10x+3=4?
	a) x=0
	b)
	c)
	d) x=4
	e) nenhuma das anteriores
	Resposta:

11) Qual a solução da equação ?
	a) y= -3
	b)
	c) y=39
	d) y=13
	e) nda
	Resposta:

12) Qual a solução da equação ?
	a)
	b)
	c)
	d) z=1
	e) z=0
	Resposta:

2 - E se os denominadores forem diferentes, como devemos proceder?

Para somar frações com denominadores diferentes, primeiramente colocamos as frações em um mesmo denominador (denominador comum) e somamos como no caso anterior.

Exemplo:
Para somar  multiplicamos o denominador e o numerador da primeira fração por 4 e multiplicamos o denominador e o numerador da segunda fração por 3, obtendo .

A regra geral para se somar duas frações é:

Não entendeu? Vejamos com números.

Exemplo:

Para somar , procedemos da seguinte forma:

Somar números na forma decimal - Se os números forem dados na forma de decimal (com casas após a vírgula) procedemos a soma colocando vírgula abaixo de vírgula e somamos da mesma forma empregada com números inteiros. Exemplo:

Não despenderemos muito tempo com as operações básicas, recomendamos que aquele que não se lembrar mais das operações procure a clínica de matemática e realize todos os exercícios que estão lá presentes. Deixaremos alguns desafios que utilizam operações básicas para sua resolução, tais desafios exploram mais o raciocínio do que de a mecânica das contas.

Multiplicação e Divisão - Agora iremos multiplicar e dividir. A multiplicação nada mais é que a soma de um determinado termo por ele mesmo, várias vezes. Por esse motivo, dizemos 3 vezes 2, por exemplo, ao invés de 3 multiplicado por 2 o que escrevemos por 3´2 ou 3.2 e o resultado disto é imediato 3.2=2+2+2=6.
Realizar multiplicações não é um problema enfrentado por ninguém, a complicação começa quando realizamos multiplicações com números que possuem sinal ou com números fracionários. Faremos nesta subseção uma breve recordação, se o que for exposto se mostrar mais como uma novidade ao invés de uma recordação então, novamente, recorra à clínica e procure fazer todos os exercícios propostos.

Definição: Os termos envolvidos em uma multiplicação recebem o nome de fatores Numa divisão temos os seguintes termos: Dividendo, divisor, quociente e resto, dispostos segundo o esquema abaixo:

Exemplo:

Regras de sinais para a multiplicação e divisão

Exemplo:

Observe que não é necessário colocar o sinal + quando o número é positivo, isso na multiplicação (ou na divisão) apenas.

Multiplicação e Divisão de Frações - Para multiplicar números fracionários multiplicam-se os denominadores e os numeradores das duas frações, isto é:

	Vejamos com exemplos: Exemplo 1:

Para dividir dois números fracionários, deve-se multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda, de acordo com o mostrado na equação abaixo:

	Exemplo 2:

Desafio:
Quanto é um milhão dividido por um quarto mais cinquenta?
Resposta

3 - Potenciação

Utilizamos potenciação para representar a multiplicação de um número por ele mesmo. Por exemplo, se quisermos representar a multiplicação de 5 por ele mesmo 10 vezes, escrevemos 5¹⁰, em geral:

Propriedades da Potenciação: i) , a0 Potência de base igual à zero – Qualquer número elevado a 0 é igual a 1, com exceção do 0. ii) Potência de base igual à zero – Qualquer número elevado a 1 é ele mesmo. iii) Multiplicação de potências de mesma base – conserva-se a base e somam-se os expoentes. iv) , a0 Divisão de potências de mesma base – Conserva-se a base e subtraem-se os expoentes. v) Potência de potência – Repete a base e multiplicam-se os expoentes. vi) Potência de um produto – Eleva-se ambos os termos ao mesmo expoente. vii) Potência de uma fração – Deve-se elevar numerador e denominador ao mesmo expoente. viii) , para Notação de raiz de um número. ix) Potência de Expoente Negativo – Inverte a base e eleva ao mesmo expoente positivo. x) Potência de base negativa Se o expoente for ímpar: resultado negativo; Se o expoente é par: resultado positivo.

Exemplo: Calcule ou simplifique as expressões a seguir:
Resolução:

Qual o valor da expressão: 2x3+155 ?

Alguns diriam, 9, outros, 215. Cada um desses valores depende da ordem em que realizamos as operações, lembrando que as operações são realizadas entre dois números de cada vez.
Para garantir uma uniformidade de interpretação, existe uma ordem a ser seguida quando operamos com números, quaisquer que sejam:

- Primeiramente realizamos a radiciação e potenciação, depois a multiplicação e a divisão, e, finalmente, a adição e subtração.

- Quando desejamos que esta ordem não seja seguida, introduzimos os delimitadores ( ) (parênteses), [ ] (colchetes), { } (chaves), onde a ordem é seguida como foi apresentado, primeiro realizamos as operações entre parênteses para depois realizar as operações entre colchetes e por final as operações entre chaves.

1 - Porcentagem

Diariamente, vemos nos meios de comunicação em geral, informações envolvendo taxas percentuais. Porcentagem é toda fração com denominador igual a 100 e é representada pelo símbolo %.

Dessa forma, veja algumas porcentagens e sua representações equivalentes.

a) 60% = = 0,60.

b) 3,5 = = 0,035.

E se quisermos representar o número em porcentagem, o que devemos fazer?

Como dito anteriormente, a porcentagem é toda fração com denominador igual a 100. Dessa forma, é necessário que se multiplique toda a fração por para que tenhamos o tal número em forma de porcentagem. Veja como fica:

= . = = 60%

De uma forma geral,

Exemplos:

a) 0,50 0,50 . 100 = 50%
b) 40%

Calculando porcentagens...

Para calcular porcentagens de um número deve-se ter em mente que a preposição “de” em matemática significa multiplicar. Assim,

a) 3% de 1000 =
b) 8% de 1450 =

Vejamos alguns exemplos...

Exemplo 1

Um cartão para telefone celular custa R$ 25,00. Se uma pessoa utilizou 37% para fazer uma ligação, quanto custou a ligação?

Resolução:

Podemos concluir que a ligação custou 37% do valor total do cartão (R$ 25,00). E, 37% de 25, matematicamente, significa .25 = 0,37 . 25 = R$9,25. Ficou claro?

Exemplo 2

O salário passará a ser a soma do valor atual, com a taxa de 7% sobre este valor. Não é? Que transformando para uma sentença matemática, equivale a:

1700 + . 1700 = 1700 + 119 = R$1.819,00

Exemplo 3

Um funcionário tem um salário de R$ 1.800,00 e paga 12% do seu salário de impostos gerais.

a) Quanto, o funcionário, paga de imposto?
b) Qual o seu salário líquido?

Resolução:

a) Conforme dito no enunciado do problema, o funcionário pagará 12% de seu salário de impostos. Ou seja,

. 1800 = 0,12 . 1800 = R$216,00

b) O seu salário líquido será o total de R$ 1.800,00, menos o tal de descontos, R$ 216,00. Ou seja, 1800 - 216 = R$ 1.584,00.

2 - Regra de três

Grandezas Diretamente Proporcionais

A produção de uma indústria está registrada no quadro, o qual apresenta uma relação entre o tempo de trabalho (em horas) e a produção equivalente (em peças).

Veja as razões calculadas abaixo... Observe que a razão entre dois valores de tempo é exatamente igual à razão entre os dois valores correspondentes da produção.

Neste caso, a cada 1 hora de trabalho há uma produção de 100 peças adicionais. Assim, dizemos que as duas variáveis são diretamente proporcionais, pois aumentando o tempo de trabalho, aumenta-se a produção, e na mesma razão.

Grandezas Inversamente Proporcionais

Veja o tempo em que um determinado veículo percorre uma determinada distância, em função da velocidade média empregada.

Observe que quanto maior a velocidade menor será o tempo necessário para percorrer uma determinada distância.

Veja as razões calculadas abaixo..... Observe que a razão entre dois valores de velocidade é o inverso da razão entre os dois valores correspondentes do tempo.

Neste caso, dizemos que as duas variáveis são inversamente proporcionais, pois aumentando a velocidade o tempo para percorrer uma mesma distância aumenta em uma razão inversa.

As grandezas aqui envolvidas são: a quantidade de gasolina e o seu preço. Neste caso, são duas grandezas diretamente proporcionais, pois quanto maior a quantidade consumida maior será a despesa. Assim, os números que expressam essas grandezas variam na mesma razão.

Dessa forma,

Exemplo 02: Em uma corrida de Fórmula Indy, um piloto imprimindo uma velocidade de 180 Km/h, faz 1 volta em 20 segundos. Se sua velocidade fosse de 200 Km/h, que tempo teria gasto para uma volta?

As grandezas aqui envolvidas são: velocidade e tempo. Neste caso, são duas grandezas inversamente proporcionais, pois aumentando-se a velocidade na corrida o piloto terá uma diminuição no seu tempo. Assim, os números que expressam essas grandezas variam em razão inversa.

Dessa forma,

É bastante comum encontrarmos problemas de Regra de Três que envolvem porcentagens. Vamos ver um....

Exemplo 03: O aluguel de um imóvel era de R$ 380,00 e passou para R$ 450,00. Qual o índice de reajuste ocorrido?

Neste caso, temos duas grandezas diretamente proporcionais, pois quanto maior o índice de reajuste maior será o preço cobrado pelo aluguel. Observe que o aumento foi de R$ 70 e o que queremos é saber quanto este valor representa do valor inicial do aluguel (R$ 380,00).

R$ 380 100%
R$ 70 x%

E fazendo a relação entre as razões, temos:

Desafio:
Um elevador pode levar 20 adultos ou 24 crianças. Se 15 adultos já estão no elevador, quantas crianças podem ainda entrar?

Resposta

Trinômio

Expressão algébrica formada pela soma ou subtração de três monômios.

Exemplos:

Polinômio

Expressão algébrica formada pela soma ou subtração de mais de três monômios.

Exemplos:

Propriedades da Adição e Multiplicação

Apesar de serem válidas, as regras apresentadas aqui, não são muito utilizadas quando a expressão em questão possuir apenas números. Utilizamos as regras que se seguem para simplificar expressões algébricas, ou para determinar o valor de uma variável, na resolução de equações.

Exemplo:

Observe que a comutatividade não vale para a subtração nem para divisão. No item d) do exemplo 4 -3 = 4 + (-3)= -3 + 4.
Para a divisão um contra exemplo simples seria  que não é igual a quando comutamos numerador e denominador.

a+(b+c)=(a+b)+c e a.(b.c)=(a.b).c

Em outras palavras, não importa a ordem que se somem três parcelas ou multiplique três fatores, o resultado será o sempre o mesmo.
De fato, a associatividade é válida para expressões com mais termos e não apenas com três termos.
Devido à associatividade podemos suprimir os parênteses em certas expressões.

Distributividade

A distributiva relaciona as operações de multiplicação e de adição conjuntamente, nela se encontra a explicação de como multiplicar um termo por uma soma com dois ou mais termos ou, como transformar uma soma de duas multiplicações em uma multiplicação com uma soma. Confuso?! Para simplificar a distributividade nos permite, além de distribuir, fatorar (colocar em evidência).

Exemplo:

Operações com Expressões Algébricas...

- Adição e Subtração

Exemplo: 2x + 5x – 2y –y = 7x -3y

- Multiplicação e Divisão

Exemplo: 2xy(x²-2y) = x³y-4xy²

- Potenciação

Exemplo: (3x²y³)² = 9x⁴y⁶

Quando a expressão em questão possuir apenas números, as regras apresentadas não são muito empregadas. Utilizamos as regras acima para resolver expressões em que precisamos determinar o valor de uma variável. O que será exposto em seguida.

2 - Resolvendo equações do 1^o Grau

Uma equação do 1^o grau é uma equação da forma ax+b=c, onde a, b e c são números reais quaisquer.

Exemplos:

Quando dizemos “Resolva a equação do 1o grau” queremos encontrar o valor para x que satisfaça a equação. Este processo será muito útil quando nos depararmos com problemas que envolvam receita, custo, lucro, oferta e demanda do primeiro grau, que será visto posteriormente.
Para obter a solução ou raiz de uma equação do 1º grau, podemos aplicar o processo dedutivo, que consistem em isolar a variável x, realizando para isto operações inversas na ordem inversa, que são retratadas pelo princípio da equivalência das igualdades que segue.

Princípio de Equivalência das Igualdades

- Princípio Aditivo

- Princípio Multiplicativo

De uma forma geral, para deslocarmos um termo de um membro para outro, se ele está somando, passamos subtraindo (ou vice-versa) e, se ele está multiplicando, passamos dividindo (ou vice-versa).

Exemplo:

Determine o valor de x que satisfaz a equação:

3x+2=8

Resolução:
Pela princípio aditivo, (item a) podemos somar -2 nos dois lados da equação que a igualdade se preserva. Obtemos:

Multiplicando ambos os membros por  a igualdade se preserva, segundo o princípio multiplicativo. Obtemos:

Legal, não?!
Substituindo 2 no lugar de x na equação inicial constata-se que a igualdade é verificada.

Resolução:

A segunda e a quinta linhas geralmente são omitidas no processo de resolução de uma equação. Estas são correspondentes aos princípios, aditivo e multiplicativo, respectivamente. b) 37x-4-18x=5

Neste exemplo, a expressão foi reescrita utilizando a associatividade e a fatoração para recairmos no exemplo anterior e proceder de forma análoga na determinação de x.
Observe, também, que omitimos a passagem de somar o oposto e multiplicar pelo inverso, aplicamos de imediato os princípios da adição e multiplicação.

3 - Resolvendo Equações do 2^o grau

Uma equação do segundo grau é uma equação da forma ax²+bx+c=0, onde a, b e c são números reais com a0.

Exemplo:

Existe um algoritmo para resolver uma equação do segundo grau (encontrar os valores para x que satisfazem a igualdade), tal algoritmo recebe o nome de Fórmula de Báskhara e diz que uma equação do segundo grau pode possuir no máximo duas soluções reais determinadas pelas fórmulas:

A expressão dentro do radical recebe o nome de discriminante e é representado pela letra grega maiúscula  (delta), assim:

x1 e x2 recebem o nome de raízes da equação do segundo grau.

Exemplo: Encontre as soluções das equações do segundo grau (encontre as raízes) a seguir:
	a) x2-3x+2=0
Resolução:
	Temos que a=1 b=-3 e c=2 e pelas fórmulas de Baskhara, obtemos:

b) x2-2x+1=0 Resolução:

c) 3x2+3x+1=0 Resolução:

Em geral uma equação do segundo grau ax²+bx+c=0 pode ser escrita como um produto de fatores de 1^o grau, se a equação possuir raízes reais, da seguinte forma:

4 – Montando Equações

Na resolução de alguns problemas práticos é necessário que tenhamos uma ótima interpretação do que se está acontecendo, para que possamos traduzi-lo para uma linguagem matemática. Isto é, transformar o problema em uma equação para que possamos resolvê-lo. Por isso, apresentamos, em seguida, alguns exemplos de sentenças matemáticas utilizadas para resolução de problemas.

1.	Um número	x
2.	O dobro de um número	2x
3.	A metade de um número
4.	A terça parte de um número
5.	O quádruplo da quinta parte de um número
6.	O quadrado de um número	x2
7.	A raiz quadrada de um número
8.	A raiz quadrada da metade de um número
9.	Dois números consecutivos	x e x + 1
10.	O quadrado da soma de dois números	(a + b)2
11.	A soma do quadrado de dois números	a2 + b2

Desafio:
Um certo sultão tinha muitos cavalos. Certa vez, alguém lhe perguntou quantos eles eram, e a resposta foi a seguinte: 'Se você somar um quarto do número de cavalos a um terço do mesmo número, terá dez a mais que a metade do número de cavalos.' Quantos cavalos tinha o sultão?
Resposta