1 - É lógico!

Observe a tira do Recruta Zero.

Como foi que o Recruta Zero concluiu que o sargento Tainha iria assistir a um jogo? Que indício o fez concluir que não era possível assistir a um filme, naquele momento? Possivelmente pela evidência de que sempre que o sargento vai assistir ao jogo, ele arruma a estante de guloseimas. E naquele momento a estante estava arrumada. Baseado em indícios ele chegou a uma conclusão. Para o Recruta Zero isto é lógico!

Você se lembra quantas vezes, ao longo de sua vida, já utilizou essa expressão?

Em diversos momentos do nosso cotidiano, falando sobre esporte, filmes, livros, escolas ou questões do dia-a-dia, acreditamos estar pensando e agindo com lógica. Quando emitimos uma opinião que nos parece evidente e de dificil argumentação, quase sempre utilizamos a expressão: É lógico!

Seria diferente se Recruta Zero tivesse dito: “acho que o sargento vai assistir a um jogo”, aí ele estaria apenas emitindo uma opinião e não poderia dizer: é lógico.

Assim, se quisermos que a nossa conclusão seja lógica, devemos argumentar, isto é, expor as razões que a sustentam. Chamamos de "argumento" o encadeamento de razões.

Para exemplificar:

A ligação entre as razões apresentadas e a conclusão é fundamental para se ter uma boa argumentação. No exemplo acima, não seria possível concluir que ela será aprovada, a partir de razões como: ela não é estudiosa ou não tira boas notas, pois não existiria relação entre essas razões e a conclusão.

A maioria de nós acredita que é somente na matemática que utilizamos o nosso raciocínio lógico, todavia este tipo de raciocínio está presente em todas as áreas de conhecimento. O “processo de pensar, expressar idéias, refletir, discutir, registrar, sistematizar, fazer e refazer baseia-se na contribuição interativa das diferentes disciplinas, por meio da articulação do pensamento e da linguagem na busca do significado das coisas e da elaboração do saber”.

Diferentes profissionais, em diferentes campos de atuação, utilizam a argumentação lógica para atingirem os seus objetivos. Entre eles podemos citar: os advogados, jornalistas, políticos, professores, publicitários.

Na matemática, somos convidados constantemente a apresentar conclusões como conseqüência lógica de determinadas afirmações que são inicialmente aceitas. É comum lidarmos com as expressões:

Observe que as expressões na matemática normalmente são construídas assim: Se isto é verdade, então aquilo também é.

Desta forma, estudar matemática é um permanente exercício de lógica, porque cada afirmação, por mais complexa que pareça, pode ser sempre comprovada a partir de outras mais simples, ordenadas apropriadamente.

Sabendo-se que:

1. Raciocinar logicamente não é um privilégio dos filósofos ou dos apaixonados pela matemática.
2. Há, nos diferentes campos do saber, crescente necessidade do desenvolvimento da capacidade de argumentação, baseada na lógica.
3. É preciso aprimorar a capacidade de resolver problemas com rapidez e consistência, ou seja, com precisão em qualquer situação da vida.

Somos, assim, levados a desenvolver nosso raciocínio lógico para ficarmos atentos e selecionar as informações que nos chegam para melhor desempenharmos nossos papéis de cidadãos.

Muitas são as definições que você poderá encontrar para lógica, mas em última análise elas têm um conteúdo comum, ou seja, a lógica é a disciplina que trata das formas do pensamento, da linguagem descritiva do pensamento, das leis da argumentação e raciocínios, dos métodos e dos princípios que regem o pensamento humano.

Veja bem, existem diversas maneiras de se convencer alguém. Em linguagem técnica são chamadas de argumentos, dentre os quais alguns são corretos, verdadeiros ou legítimos e outros são incorretos, falsos ou ilegítimos.

Aristóteles, nascido século IV antes de Cristo, foi um dos muitos pensadores cujas idéias permanecem vivas até os dias de hoje. Esse filósofo, que foi aluno de Platão e professor de Alexandre - o Grande, é considerado um dos maiores pensadores de todos os tempos e criador do pensamento lógico.

Aristóteles foi considerado o primeiro a se preocupar com o estabelecimento de regras para argumentação. Estudou detalhadamente certos tipos básicos de argumentos e estabeleceu regras para distinguir os que são válidos dos inválidos. Os argumentos inválidos são conhecidos como falácias ou sofismas.

Você já ouviu alguém dizer: tal argumento é falacioso ou esta afirmação é um sofisma? Essas declarações expressam que a afirmação ou o argumento utilizado foi mal construído e que a conclusão não é conseqüência das razões apresentadas.
Além das falácias e dos sofismas, há o problema das frases ambíguas, que causam dúvida entre duas ou mais possibilidades.

Se perguntarmos a alguém: Você gostaria de melhorar sua habilidade de resolver problemas lógicos e matemáticos ou melhorar sua compreensão das informações que você lê em publicações cientificas, em relatórios médicos ou nos contratos legais? a maioria das pessoas responderia sim a essas perguntas.

Muitas pessoas ficariam felizes em ampliar sua capacidade de raciocínio porque, no mundo de hoje, é impossível deixar de resolver alguns problemas, ler documentos técnicos, controlar conta bancaria e orçamento doméstico, calcular impostos ou ler instruções para instalar equipamentos domésticos. Inicialmente, devemos considerar que é possível enfrentar dificuldades e cometer erros, pois estamos aprendendo e experimentando.

Uma forma de melhorar nossas habilidades de análise é observar os tipos de erros que as pessoas fazem freqüentemente, e então ficar atento para não praticá-los. Ocasionalmente, entretanto, erros acontecem porque determinada pessoa não possui as informações necessárias para responder a um determinado problema. Por exemplo, dada uma questão de vocabulário, um aluno pode não saber o significado de determinadas palavras contidas nas questões.

Mas, muitos erros não são deste tipo. Ao invés, os alunos têm informações suficientes e erram a questão porque seus processos de análise e raciocínio falham de alguma forma. Falham na leitura ou na análise do problema, não têm persistência para chegar na solução ou não sabem “pensar alto” enquanto trabalham. Vamos analisar cada caso de falha.

1. Imprecisão de leitura

O Aluno:

• Lê o texto de um problema sem se concentrar no significado das palavras e não entende completamente o problema.
• Lê as frases sem perceber que seu entendimento é vago e não se pergunta: “Será que compreendi bem esse problema?”
• Faz uma leitura muito rápida do problema e perde a compreensão global.
• Às vezes, perde algumas palavras porque não lê cuidadosamente o problema, “passa por cima” de palavras importantes.
• Faz uma leitura desatenta e perde um ou mais fatos ou idéias do problema.
• Não é consistente na maneira como interpreta as palavras ou executa operações envolvidas no problema. A cada ocasião atua de forma diferente.
• É impreciso ao visualizar uma descrição ou relação apresentada no texto.
• Não relaciona o texto escrito com a realidade ou eventos concretos de modo a tornar claro e inteligível o significado do que está escrito.
• Não usa o dicionário quando é preciso.
• Não transforma as palavras que não são claras em palavras que já conhece.
• Salta palavras ou frases ou ainda se satisfaz com um vago entendimento delas ao invés de tentar obter melhor compreensão.

2. Falha na análise do problema

O aluno:

• Não divide o problema em partes.
• Não inicia por uma determinada parte que possa manipular de modo a iniciar a solução.
• Não trabalha passo a passo.
• Não é suficientemente preciso em cada passo.
• Não usa as partes do problema que já entendeu para ajudá-lo a resolver as partes mais difíceis.
• Não clarifica o raciocínio sobre as partes entendidas de modo a trabalhar a partir delas.
• Não se baseia no conhecimento e experiências anteriores para entender as idéias que não estão claras.
• Não constrói ativamente (mentalmente ou no papel) uma representação das idéias descritas no texto, que poderia ajudar no entendimento do problema.
• Fica inseguro quanto à correção de alguma etapa ou conclusão, mas não confere.
• Não tem certeza sobre a fórmula ou procedimento que deve ser utilizado mas não confirma.
• Trabalha ou calcula rápido demais e erra.
• Não avalia a solução ou a interpretação obtida em termos de seu conhecimento anterior sobre o tópico.

3. Falta de persistência

O aluno:

• Faz poucas tentativas de usar o raciocínio para resolver um problema.
• Não confia em sua habilidade de tratar esse tipo de problema.
• Acredita que o raciocínio não funciona para aquele problema.
• Sente-se confuso e não inicia um trabalho sistematico.
• Clarifica as partes do problema que podem ser prontamente compreendidos para depois prosseguir.
• Escolhe uma resposta baseada na consideração superficial do problema – na impressão ou sentimento daquilo que pode ser correto.
• Faz apenas uma tentativa superficial e tenta adivinhar uma resposta.
• Resolve o problema de maneira mecânica, sem pensar muito.
• Estuda parcialmente o problema, abandona e pula para uma conclusão.

4. Falha em “pensar alto”

• O aluno não verbaliza o problema em detalhes suficientes enquanto trabalha. Em certos pontos ele para e pensa sem verbalizar seus pensamentos. Efetua um cálculo numérico ou representa uma conclusão sem verbalizar ou explicar os passos executados.

Aprender a solucionar problemas

Os professores Arthur Whimbey e Jack Lochhead, no livro Problem solving and comprehension, demonstram os métodos usados por aquelas pessoas que são consideradas bons solucionadores de problemas. Em seguida, oferecem oportunidade de prática nesses métodos, por meio de muitos exercícios e questões de compreensão e raciocínio. Na medida em que faz os exercícios propostos, o aluno nota que suas habilidades de raciocínio estão melhorando e, em conseqüência, aumenta sua autoconfiança e adquire uma atitude positiva quando tem problemas a resolver.

Você está convidado a ler e discutir em voz alta quando resolve os exercícios; isto porque pensar é uma atividade escondida. A habilidade de analisar material complexo e resolver problemas é uma habilidade tanto quanto jogar golfe ou dirigir um carro. Entretanto, há uma dificuldade especial para ensinar a habilidade de análise.

Em geral, há duas fases para se ensinar uma habilidade. Na primeira, a habilidade é demonstrada ao estudante e, na segunda, o aluno realiza prática orientada. Em contraste com a aprendizagem do jogo de golfe, analisar material complexo é uma atividade que se desenvolve em nossa cabeça. Este fato torna difícil para o professor ensinar e para o aluno aprender. Em outras palavras, um iniciante não pode observar como pensa um especialista em resolver problemas. E o especialista tem dificuldade em demonstrar a sua técnica.

A forma de resolver esse problema é: relatar em voz alta enquanto se resolve um problema. Se estudantes e especialistas “pensam alto” enquanto trabalham sobre idéias e relações complexas, os passos que executam tornam-se abertos para serem “vistos” e suas atividades podem ser observadas e comunicadas.

O procedimento de pedir às pessoas que pensem em voz alta enquanto resolvem problemas é aplicado de duas maneiras.

1. Resolvedores experientes de problemas foram convidados a relatarem seu pensamento, em voz alta enquanto resolviam os problemas deste curso. Suas respostas foram gravadas e os passos usados para a solução foram escritos e resumidos. Esses resumos são apresentados como solução do problema. Isto é, a solução de cada problema é um resumo dos passos executados por um solucionador experiente enquanto ele resolvia o problema em voz alta.

2. A segunda aplicação do procedimento consiste em solicitar a você, aluno, para pensar em voz alta enquanto trabalha cada um dos problemas. Fazendo isso você torna seu raciocínio visível às outras pessoas, de forma que possam observar como você ataca o problema.

Assim, elas podem aprender as técnicas que usa; podem ajudá-lo apontando algum erro que possa fazer e podem comparar os passos que você usa com aqueles listados na solução.

Mais tarde você vai descobrir que pensando alto será capaz de “ver” as atividades do seu próprio raciocínio mais atentamente. Você será capaz de ver exatamente quais estratégias que você usa e quais as suas dificuldades para resolver o problema.

As pesquisas têm mostrado que esta é a maneira eficiente para melhorar as habilidades de solução de problemas: trabalhar em dupla, pensar alto, aprender com o outro e conhecer como os resolvedores experientes abordam os mesmos problemas.

Vamos recordar?

2 - Pensando em voz alta

Embora você seja convidado a pensar alto, você, naturalmente, não pode verbalizar todo o processamento mental que realiza. Por exemplo, você não pode explicar como você sabe o significado de cada palavra que lê no problema. Entretanto, quando você não está seguro sobre uma palavra ou idéia, e você tem que parar e pensar a respeito, faça isso em voz alta. Como uma regra básica, tente pensar alto tanto quanto possível enquanto faz os exercícios.

Descreva seus pensamentos - especialmente nos pontos do problema em que sinta dificuldade ou fique confuso. É uma forma de garantir que você não salte passos no seu raciocínio nem perca fatos ao chegar à conclusão. Ou seja, você verá que a verbalização de seus pensamentos o força a ser mais cuidadoso e completo ao analisar idéias.

O processo de verbalizar enquanto resolve problemas requer alguma prática. Inicialmente você pode encontrar dificuldade em expressar os seus pensamentos com palavras, mas a maioria dos estudantes passa a fazê-lo rapidamente.

3 - Características dos bons solucionadores

Os exemplos apresentados ilustram algumas características das pessoas que são boas resolvedoras de problemas. Essas características têm sido estudadas pelos pesquisadores do assunto e serão resumidas em cinco itens.

a) Atitude positiva – Os bons resolvedores de problemas têm forte crença em que os problemas de raciocínio podem ser resolvidos por meio de análise persistente. Resolvedores mais fracos, ao contrário, expressam freqüentemente a opinião: ou você sabe a resposta a um problema ou não sabe. Se você não sabe, procure adivinhar ou então abandone.

Eles não aprenderam que um problema pode inicialmente parecer confuso – e a maneira de trabalhar sobre ele pode não ser óbvia – mas que, decompondo cuidadosamente o problema, destacando primeiro uma parte da informação e depois outra, a dificuldade inicial pode ser gradualmente analisada. Os resolvedores fracos não têm confiança nem experiência em tratar os problemas, às vezes longos, por meio da análise gradual.

Os bons resolvedores costumam trabalhar os problemas do começo ao fim, cuidadosamente, em pequenos passos. A tendência dos fracos fazerem mais erros – trabalhando apressadamente e, algumas vezes pulando os passos – pode ser descrita por três características.

• Primeira, não acreditam que a análise persistente seja uma forma efetiva (e de fato é a única) para trabalhar com os problemas de raciocínio. Assim, sua motivação é fraca para persistir trabalhando o problema com precisão e profundidade até que esteja resolvido.

• Segunda característica, os resolvedores fracos tendem a ser descuidados em seu raciocínio. Eles não desenvolveram o hábito de manter o foco e conferir continuamente a precisão de suas conclusões.

• E, como terceira característica, eles não aprenderam a dividir o problema em partes e trabalhar um de cada vez.

Como conseqüência dessas três características, os resolvedores mais fracos têm uma forte tendência de apresentar respostas rápidas que contém erros, tanto de cálculo como de lógica.

e) Atuar na solução de problemas - A característica final do bom solucionador de problemas é a tendência em ser mais ativo que os outros, quando trabalhando com problemas de raciocínio. Eles fazem mais coisas enquanto tentam entender e responder questões difíceis. Por exemplo, se uma descrição escrita é difícil de entender, eles tentam criar uma figura mental das idéias de modo a “ver” melhor a situação. Se uma apresentação é longa, confusa ou vaga, um bom solucionador tenta destacar e simplificar, em termos de experiências vividas e exemplos concretos.

Além disso, o bom solucionador faz perguntas sobre o problema, responde questões, fala consigo mesmo para clarear as idéias. Um solucionador pode contar nos dedos, apontar com uma caneta, rabiscar o texto do problema, fazer digramas ou outra ajuda física para o pensamento. Principalmente, um bom solucionador é ativo de muitas formas, as quais melhoram sua precisão e o ajudam a chegar ao entendimento claro de idéias e problemas.

Muito da aprendizagem vem não daquilo que outras pessoas nos falam, mas de nossa própria habilidade de descrever o que funciona e o que não funciona.

“Pensar alto” é um processo muito simples que se torna cada vez mais complexo e sofisticado na medida em que desenvolvemos nossa experiência. Inicialmente tudo que precisamos saber é que: aquele que resolve o problema deve explicar todos os passos de seu raciocínio e quem ouve tem que entender todos esses passos. Dessas duas metas simples decorre todo o resto.

4 - A importância da leitura

Ao ler livros especializados, ou qualquer outro texto técnico, devemos ler muito cuidadosamente para ter compreensão completa. Ocasionalmente, podemos não ter o tempo suficiente para ler com cuidado e acabamos por fazer apenas uma leitura superficial.

Mas é preciso reconhecer que, quando lemos superficialmente, não compreendemos a maioria dos detalhes. Não conseguimos aprender matemática fazendo uma leitura superficial sobre um texto matemático, nem conseguimos aprender química, física, biologia, ou qualquer outra ciência, se fizermos apenas uma leitura superficial em textos dessas áreas. Existe uma grande quantidade de informações erradas sobre leitura. Aqui estão seis mitos populares sobre leitura, que pesquisas demonstraram que são falsos.

Mito 01. Não Mova os Lábios ao Ler - Às vezes, ouvimos que não se deveria mover os lábios, a língua ou os músculos da garganta ao ler, nem ouvir palavras em nossa mente ao ler. Deveríamos ser um leitor totalmente “visual”. Em alguns livros, professores são aconselhados a dar balas ou doces aos seus alunos, para que elas não movam os lábios ou a língua e, se necessário, até colocar uma caneta ou uma régua na boca da criança, para salvá-la deste hábito.

Uma série de estudos mostrou recentemente que é útil mover os lábios, a língua ou os músculos da garganta, e talvez seja até necessário para uma boa compreensão de matérias difíceis. Por exemplo, em um experimento, estudantes universitários que foram ensinados a não mover os lábios, conseguiam uma boa compreensão apenas de matérias fáceis. A compreensão deles sobre matérias difíceis piorava drasticamente quando não moviam os lábios durante a leitura.

Todas as evidencias indicam que se deveria, livremente, mover os lábios, a língua ou os músculos da garganta ao ler. Isto pode produzir melhor compreensão de materiais técnicos e uma completa apreciação de escritas literárias onde figuras de linguagem dependem do ato de ouvir as palavras lidas.

Mito 02. Leia apenas as palavras chave - Este conselho é completamente ilógico. Como se podem saber quais são as palavras chaves, antes de se ler todas as palavras? Este conselho supõe algo mágico, um mecanismo de eliminação que permitirá pré-ler as palavras e selecionar as palavras chaves que então serão lidas.

Quando os estudantes realmente tentam ler apenas as palavras chaves, eles, freqüentemente, aparecem com uma interpretação errada do material. Por exemplo, um estudante leu a seguinte frase silenciosamente:

Alguns fragmentos de evidência comprovam aqueles que sustentam uma opinião elevada sobre o nível de cultura geral entre os atenienses no Período Clássico.

Eu perguntei ao estudante o que dizia a frase e ele respondeu: “O nível da cultura grega era muito alto”.Eu perguntei: “e o que diz respeito à primeira parte da frase – alguns fragmentos de evidência?” Ele respondeu que havia pulado esta parte e tentou ler apenas as palavras chaves, ou seja, “elevado... nível de cultura... atenienses”.

Mito 03. Não tenha uma leitura “palavra por palavra” - Emerald Dechant, um proeminente pesquisador de leitura, fez o seguinte comentário sobre este mito no “Décimo Primeiro Livro Anual da Conferência Nacional de Leitura”:

Emerald Dechant

Mito 05. Você pode ler a uma velocidade de 1000 ou mais palavras por minuto sem nenhuma perda de compreensão - Os especialistas em velocidade de leitura dizem que quando lemos de 250 a 300 palavras por minuto, estamos trabalhando a uma taxa de velocidade equivalente a de uma carroça, ou seja, estamos perdendo tempo. Deveríamos ler de três a dez vezes mais rápido que isto.

Contudo, uma amostra de professores da Universidade de Michigan lia a uma taxa geral de 303 palavras por minuto e a taxa geral dos estudantes calouros da Universidade de Harvard foi de 300 palavras por minuto. Além disso, uma série de experimentos mostrou que pessoas que aprenderam a ler a uma taxa de 600 palavras por minuto, quando diminuíram para a taxa para 300 palavras melhoraram sua compreensão.

Estudantes que se preparam para testes como o SAT, GRE, ou LSAT podem se assegurar que ler a uma taxa de 250 – 300 palavras por minuto permitirá a eles obter um alto nível de pontos, se suas respectivas compreensões forem boas. A preparação deles deveria, principalmente, ater-se em fortalecer seu vocabulário e suas habilidades de leitura, sem se preocuparem em aumentar a velocidade de leitura.

Uma “garantia” de velocidade de leitura - Uma das maiores empresas de velocidade de leitura garante suas afirmações oferecendo o retorno de uma porção do seu pagamento se eles falharem em triplicar a “eficiência de sua leitura”. Isto soa de forma impressionante aos ouvidos de várias pessoas, pois elas não sabem o que “eficiência de leitura” representa. Aqui está uma definição de eficiência de leitura:

Suponha que uma pessoa comece o curso de velocidade de leitura como um bom leitor, que lê a 300 palavras por minuto e responde corretamente a 95% das questões do teste de compreensão. Sua eficiência de leitura é calculada assim:

Ao completar o curso, em novo teste de eficiência, lê a uma velocidade de 2000 palavras por minuto com 55% de compreensão. A eficiência é calculada:

Assim, a eficiência de leitura mais que triplicou. Mas como uma eficiência de leitura de 1100 é boa, se é baseada em uma taxa de compreensão de 55%? Seria bom que um cirurgião operasse com uma compreensão incompleta de textos médicos? Advogados, engenheiros nucleares e mecânicos não requisitam a maior compreensão possível para fazer o seu trabalho de melhor maneira possível?

Para maximizar o desempenho acadêmico e ter uma boa performance em testes, é necessário ler com cuidado e detalhadamente e conceder o tempo necessário ao trabalho. Não há atalhos mágicos. Ao ler livros acadêmicos e materiais técnicos, devemos usar todas as atividades que bons solucionadores de problemas que iremos estudar.

A seguir você terá muitos exercícios que, com certeza irão colaborar para o aperfeiçoamento do seu método de raciocinar. Lembre-se: se que a prática é vital e as repetições são necessárias. Bom trabalho!

Mito 06. Não retorne ou releia - Especialistas em velocidade de leitura dizem que nunca se deveria retornar ou reler uma seção de texto, mesmo quando se acredita que não entendeu perfeitamente. A releitura é conhecida como um mau hábito de leitura e totalmente improdutivo. Ao invés, deveríamos seguir em frente, pois nossa compreensão seria esclarecida à medida que lemos.

Entretanto, vários estudos mostram que bons leitores não seguem este conselho. Com livros didáticos ou outros materiais mais complicados, eles devem constantemente reler frases e parágrafos para entender completamente.

5 - Soluções com diagramas de posicionamento

Introdução

A partir de agora você está convidado a resolver problemas que têm por objetivo aperfeiçoar sua habilidade de raciocínio lógico.

Os problemas são bastante simples no início e, aos poucos se tornam um pouco mais difíceis, mas sempre com a função de desenvolver o raciocínio.

Use uma folha de papel para traçar diagramas, fazer rascunho, pensar nas possibilidades de solução. Cada problema é seguido pela sua solução. Veja se a sua resposta está de acordo, se não estiver, leia em voz alta a solução inteira do problema. Conforme você faz a leitura da solução, observe como o problema é analisado em etapas. Observe também todos os diagramas ou outras técnicas e ferramentas que foram empregados. Utilize estas técnicas sempre que forem apropriadas para resolver futuros problemas.

José é mais pesado que Frederico, porém mais leve que Márcio. Escreva os nomes dos três homens, em ordem decrescente, no seu diagrama

	Mais pesado
	Mais leve

1º passo José é mais pesado que Frederico... Ele seria colocado acima de Frederico no diagrama:    José  Frederico   2º passo Porém mais leve que Márcio... Isso diz que José é mais leve que Márcio. Então Márcio é colocado acima de José no diagrama:    Márcio  José  Frederico

Problema 02

João é mais lento que Felipe, e mais rápido que Valdir. Valdir é mais lento que João, porém mais rápido que Pedro. Escreva os nomes dos quatro homens em ordem no seu diagrama abaixo.

	Mais rápido
	Mais devagar

1º passo. João é mais lento que Felipe... Ele seria colocado abaixo de Felipe   Felipe João   2º passo. . . . e mais rápido que Valdir. Isto quer dizer que João é mais rápido que Valdir. Então Valdir ficaria abaixo de João Felipe João Valdir 3º passo. Valdir é mais lento que João... Isto já está representado no diagrama.   4º passo. . . .porém mais rápido que Pedro. Valdir é mais rápido que Pedro, então Pedro é colocado no diagrama abaixo de Valdir. Felipe João Valdir Pedro

Problema 03

Se Daniel e Frederico são mais ricos do que Tom, Alexandre é mais pobre do que Daniel, porém mais rico do que Frederico, qual deles é o mais pobre e qual é o segundo mais pobre? Indique os nomes de todos os quatro homens em ordem.

	Mais rico
	Mais pobre

1º passo. Se Daniel e Frederico são mais ricos do que Tom, O problema não indica se Daniel e Frederico são igualmente ricos. Então eles são representados no diagrama com um ponto de interrogação entre eles, e ambos estão situados acima de Tom. Daniel ? Frederico Tom 2º passo. ... enquanto Alexandre é mais pobre que Daniel porém mais rico que Frederico ... Isso significa que Daniel e Frederico não são igualmente ricos; Alexandre está entre eles, com Daniel sendo o mais rico. Daniel Alexandre Frederico Tom Tom é o mais pobre e Frederico é o segundo mais pobre

Problema 04

Paulo e Tom têm a mesma idade. Paulo é mais velho que Cíntia. Cíntia é mais nova do que Alexandre. Pela informação, é possível determinar se Paulo é mais velho que Alexandre?

Problema 05

Catia sabe Francês e Alemão, Norma sabe Japonês e Chinês, Rosa sabe Espanhol e Francês e Elizabeth sabe Alemão e Japonês. Se Francês é mais fácil do que Alemão, Chinês é mais difícil do que Japonês, Alemão é mais fácil do que Japonês e o Espanhol é mais fácil do que o Francês, qual garota sabe os dois idiomas mais difíceis?

1º passo. Estratégia para começar o problema: A questão pergunta qual das garotas sabe os idiomas mais difíceis. Assim, o primeiro passo é ordenar os idiomas pelo seu grau de dificuldade. Essa informação está na segunda sentença do problema, então a solução começa pela segunda sentença. 2° passo. Se Francês é mais fácil que Alemão... Isto pode ser mostrado em um diagrama. O idioma mais fácil pode ser colocado arbitrariamente abaixo do mais difícil.   Alemão Francês   3º passo. . . . Chinês é mais difícil que Japonês. Um diagrama separado mostra isso.   Chinês Japonês   4º passo. Alemão é mais fácil que Japonês... Essa informação mostra como os dois diagramas podem ser combinados. Já que é o mais fácil do que Japonês, Alemão é colocado abaixo do mesmo. Chinês Japonês Alemão Francês 5º passo. . . . Espanhol é mais fácil que Francês. Isso pode ser adicionado ao diagrama. Chinês Japonês Alemão Francês Espanhol 6º passo. O diagrama mostra que Chinês e Japonês são os dois idiomas mais difíceis. Para responder à questão é necessário achar a garota que fala esses dois idiomas. Relendo a primeira frase, Norma é a garota que os fala. Norma sabe Chinês e Japonês, os dois idiomas mais difíceis.

Problema 06

Homero, Samuel, e Ricardo diferem na altura. Seus sobrenomes são Souza, Oliveira e Carvalho, mas não necessariamente nessa ordem. Homero é mais alto do que Ricardo, porém menor do que Samuel. Souza é o mais alto dos três e Carvalho é o menor. Quais são sobrenomes de Homero e de Ricardo?

1º passo. Estratégia do começo do problema: As informações dadas sobre as alturas dos três homens estão em termos de nome e sobrenome. Ao fazer o diagrama dos dois tipos de informação os nomes podem ser combinados com os sobrenomes. 2º passo. Homero é mais alto que Ricardo... Isso é representado no diagrama à direita. Homero Ricardo   3º passo. . . . porém menor que Samuel. Isto indica que Homero é menor que Samuel, então Samuel é colocado no topo do diagrama. Samuel Homero Ricardo 4º passo. Souza é o mais alto dos três e Carvalho, o menor. Essa informação pode ser representada por um novo diagrama em termos de sobrenome. Um espaço em branco é deixado para o sobrenome do terceiro homem. Souza Carvalho 5º passo. Ao reler o problema, acha-se que o sobrenome do terceiro homem é Oliveira, adicionando este ao diagrama. Souza Oliveira Carvalho 6º passo. Comparando os dois diagramas, conclui-se que: Oliveira é o sobrenome do Homero. Carvalho é o sobrenome do Ricardo.

6 - Soluções com matriz

Problema 1

Três pais – Pedro, João e Nelson – têm, entre eles, um total de 15 crianças, das quais nove são meninos. Pedro tem três meninas e João tem o mesmo número, porém de meninos. João tem uma criança a mais que Pedro, que tem quatro. Nelson tem quatro meninos a mais do que meninas e tem o mesmo numero de meninas que Pedro tem de meninos. Quanto cada um, Nelson e Pedro, têm de meninos?

Dica: Pode ser de boa ajuda organizar a informação em uma tabela do tipo da mostrada abaixo.

Problema 2

Paula, Joana e Maria possuem um total de 16 cães, entre os quais 3 são da raça poodle, o dobro disso são de Cocker Spaniels e os restantes são Collies e pastores alemães. Joana não gosta nem de poodle nem de collie, mas possui 4 Cocker Spaniels e 2 da raça pastor alemão, um total de 6 cães. Paula possui 1 poodle e só mais 2 cães, ambos da raça pastor alemão. Maria possui 3 collies e mais alguns cães. Quais os outros cães (e quanto de cada um) Maria possui?

Observação: Ao construir a tabela para este problema, não se esqueça de preencher com zero tanto quanto números positivos sempre que for apropriado. Alguns estudantes esquecem de colocar o zero e por causa disso acham que o problema não pode ser resolvido. Além disso, preencha o total sempre que puder. Por exemplo, coloque agora 16 no total de cães.

Problema 3

Todos os anos, os vendedores que trabalham para a Companhia “Apogeu das Perucas” são transferidos para uma cidade diferente. Henrique começou a trabalhar para a Companhia em 1995 em Nova Iorque e nos 4 anos que se sucederam trabalhou em Minneapolis, São Francisco, Washington e Los Angeles, nessa ordem. Em 1993, Marta trabalhou para a Companhia em São Francisco e nos anos subseqüentes trabalhou em Nova Iorque, Los Angeles, Minneapolis e em Washington. Frederico, em 1997, trabalhou para a Companhia em Los Angeles; nos 2 anos anteriores tinha trabalhado primeiramente em São Francisco e depois Minneapolis. João trabalhou, em 1998, em Los Angeles. Antes, estava em São Francisco, antes disso em Washington, e ainda antes disso, em Nova Iorque. Quais vendedores da Companhia estavam em São Francisco em 1997 e quais estavam em Minneapolis em 1996?

7 - Comparação complexas

Problema 1

Boris, Antônio e José trabalham nas profissões de bibliotecário, professor e eletricista, mas não necessariamente nessa ordem. O bibliotecário é primo do José. Antônio mora ao lado do eletricista. Boris, que é mais culto que o professor, dirige 45 minutos para chegar à casa do Antônio. Qual a profissão de cada um?

O uso de uma tabela como a mostrada abaixo é útil.

Complete a tabela e determine a profissão de cada homem.

Problema 2

Três homens -Frederico, Edison e Manuel - são casados com Joana, Tereza e Vitória, mas não necessariamente nessa ordem. Joana, que é irmã de Edison, mora em Brasília. Frederico não gosta de animais. Edison pesa mais do que o homem que é casado com Vitória. O homem casado com a Tereza cria gatos Siameses como hobby. Frederico gasta cerca de 200 horas por ano para ir da sua casa em Taguatinga ao seu trabalho em Brasília. Associe cada homem com sua respectiva mulher.

Problema 3

Você está voltado para o leste. Você vira sua cabeça para a direção oposta e depois vira 90° no sentido anti-horário. Em que direção está o seu lado esquerdo, agora?

Problema 4

Num certo dia, eu almocei no Restaurante Tommy, peguei dois livros na biblioteca (“O Lobo do Mar” e “Martin Eden”, ambos do mesmo autor, John London), visitei o museu, fiz uma obturação. O restaurante não abre às quartas-feiras, a biblioteca fecha nos fins de semana, o museu funciona somente nas segundas, quartas, e sextas, e o meu dentista trabalha na clínica nas terças, sextas e sábados. Em qual dia da semana eu fiz todas estas coisas?

Problema 4

Um trem deixou a cidade “A” às 9:35 horas e chegou à cidade “B” 5 horas e 40 minutos depois. A que horas o trem chegou à cidade “B”?

Problema 5

A Rua Garibaldi é paralela à Rua São Miguel. A Rua Castelo Branco é perpendicular à Rua Vitória. A Rua Vitória é paralela à Rua São Miguel. A Rua Castelo Branco é perpendicular ou paralela à Rua Garibaldi?

Problema 6

Na cidade de Portsville, as ruas com nomes que começam com vogais e terminam com consoantes têm sentido norte-sul. Aquelas que começam com consoantes e terminam com vogais têm sentido leste-oeste. As outras podem ter tanto um como outro sentido. Se a rua Carter é perpendicular à rua Agnes, ela vai ser perpendicular ou paralela à rua Sheridan, que tem sentido norte-sul?

Problema 7

Quantas letras estão no retângulo ou no quadrado, mas não estão em ambas figuras?

Obs: O problema não menciona o círculo. Portanto proceda como se o círculo não estivesse lá. Um exemplo simples ilustra melhor essa idéia. Se o professor pedir aos seus alunos de olhos azuis que se levantem. Os alunos de olhos azuis que são baixos e os que são altos vão se levantar. Já que a altura não é mencionada, ela é ignorada.

Problema 8

Ao trabalhar esse problema, considere o diagrama feito por três figuras geométricas: 1. um triangulo; 2. um círculo; 3. um retângulo. Quantas letras estão em exatamente duas (mas não em 3) dessas figuras?

Problema 9

Para resolver este problema, considere o diagrama feito de 5 figuras geométricas: 1. um triângulo; 2. dois círculos; e 3. dois retângulos. Especifique quais as letras que estão no mesmo número de figuras que a letra G está.

8 - Diagrama de Venn

O próximo bloco de problemas utiliza diagramas de Venn. Abaixo se encontram formas de utilização do diagrama de Venn para representar certas afirmações.

Exemplos

a) Todo A é B. Por exemplo, todos cães são animais.

b) Nenhum C é D. Por exemplo, nenhuma pessoa é um automóvel.

c) Alguns E são F. Por exemplo, algumas mulheres são feministas.

Problema 1

Faça um diagrama de Venn com 3 círculos, representando as seguintes relações:

Alguns x são y. Nenhum x é z. Nenhum y é z.

Problema 2

Faça um diagrama de Venn com 3 círculos, representando as seguintes relações:

Alguns x são y. Alguns x são z. Nenhum y é z.

Problema 3

Faça um diagrama de Venn mostrando a relação entre gatos, animais e carros, usando um círculo para representar os gatos, outro para representar os animais e um terceiro para representar os carros.

Problema 4

Faça um diagrama de Venn mostrando as relações entre gatos, cães e animais.

Problema 5

Se alguns habitantes de Santa Rosa têm olhos azuis, e alguns habitantes de lá são mulheres, a afirmação “Alguns habitantes de Santa Rosa são mulheres de olhos azuis” é verdadeira, falsa, ou inconsistente?

Problema 6

Nesse problema, suponha que as duas primeiras afirmações estão corretas e faça um diagrama para representar as relações. Depois responda as perguntas.

Todos os ursos são borboletas. Todas as abelhas são ursos.

a) Você pode afirmar que todas as abelhas são borboletas?

b) Você pode afirmar que todas as borboletas são abelhas?

Problema 7

O departamento de bombeiros quer mandar panfletos informativos para todos os professores e proprietários de casa na cidade. Quantos informativos o departamento precisará, usando as estatísticas abaixo? Use um diagrama de Venn ao resolver esse problema.

Proprietários de casa........................................50,000
Professores......................................................4,000
Professores que são proprietários........................3,000

Problema 8

Uma seguradora quer entrar em contato com todos os médicos e todos os motoristas na cidade. Usando as estatísticas abaixo, quantas pessoas devem ser contatadas? Desenhe um diagrama de Venn com a sua solução.

Motoristas.................................................8.000
Médicos...................................................... 750
Médicos que são motoristas .......................... 750

Problema 9

O governo quer entrar em contato com todos os farmacêuticos, todos donos de lojas de armas de fogo e todos os pais da cidade. Quantas pessoas devem ser contatadas, usando as estatísticas dadas?

Farmacêuticos.................................................10
Donos de lojas de armas de fogo.........................5
Pais ..........................................................3,000
Farmacêuticos que têm lojas de armas de fogo......0
Farmacêuticos que são pais.................................7
Donos de lojas de armas de fogo que são pais.......3

Dica: Use esse diagrama de Venn. Note que, já que nenhum farmacêutico é dono de loja de armas de fogo, duas seções são nulas (têm zeros).

9 - Usando letras e números

Problema 1

Se, ao retirar as letras A, L e U da palavra almoçou, o restante forma uma palavra de três letras com significado, considere o primeiro O na palavra almoçou. Senão, considere a letra M onde a palavra almoçou aparece pela terceira vez no problema.

Problema 2

Indique a posição da letra na palavra “viagem” que é a sétima letra do alfabeto.

A. primeiro
B. segundo
C.terceiro
D.quarto
E. quinto
F.sexto
G.sétimo
H. oitavo

Problema 3

Qual o número cuja distância para 20 é o dobro da distância que o 7 tem acima de 4?

Problema 4

Se o quarto número é maior do que o segundo, considere o terceiro número, a não ser que o terceiro número seja maior do que o quinto. Nesse caso, considere o número que é a diferença entre o segundo e o sétimo número.

Problema 5

Se a diferença entre o segundo e o quarto número é maior do que a diferença entre o terceiro e o quinto número, circule o sétimo número. Do contrário, calcule a diferença entre as diferenças e circule-a.

Problema 6

Circule a letra no nome Antônio que é três letras anterior à letra seguinte à letra do meio do nome.

Problema 7

Marque com um X a letra na palavra “estudante” que é duas letras anterior ao segundo T.

Problema 8

José deve ao Samuel $27,00. Samuel deve ao Frederico $6,00 e ao Alberto, $15,30. Se, com a permissão de Samuel, José pagar a dívida de Samuel com o Alberto, quanto ele ainda estaria devendo ao Samuel?

Problema 9

Tereza emprestou $7.00 a Betty. Mas Tereza pegou emprestado $15,00 da Estela e $32,00 da Joana. Além disso, Joana deve $3,00 à Estela, e $7,00 à Betty. Um dia, as mulheres se reuniram na casa da Betty para acertar suas dívidas. Qual a mulher que saiu com $18,00 a mais daquilo que tinha quando chegou?

Dica: Se fizer um diagrama, use setas para indicar qual pessoa tem que devolver dinheiro para qual pessoa. Mostre a direção que o dinheiro deve ser devolvido.

Problema 10

Lélio tem 12 vezes a quantidade de bolinhas de gude que a José tem. João tem o equivalente a metade do montante que a Judite tem. Judite tem a metade do que o Lélio tem. José tem 6 bolinhas de gude. Quantas bolinhas de gude cada um, Lélio e João têm? Você não precisa usar álgebra para resolver este problema.

10 - Uso dos dias da semana

Um homem de negócios teve que trabalhar até tarde e chegou em casa de madrugada por vários dias, mas sua mulher suspeitou que ele estava com sua amante. Certa madrugada ele chegou em casa e achou isto:

No dia anterior à ontem você chegou em casa ontem; ontem você chegou em casa hoje. Se hoje você chegar em casa amanhã, você vai descobrir que eu te deixei ontem.

O efeito humorístico desta nota vem de mudanças de perspectivas no tempo. A última sentença, por exemplo, usa o fato de que amanhã, hoje já será ontem.
A atividade mental envolvida nas descrições seguintes – compreender afirmações verbais de movimentos ao longo de alguma dimensão e inverter movimentos pensando de trás para frente para ver aonde começou o movimento – é fundamental para resolver vários tipos de problemas matemáticos. Os exercícios deste capítulo fortalecem sua habilidade de seguir e representar graficamente descrições complicadas, e mudar de perspectivas ao reverter operações. Tente este exemplo.

Suponha que meu aniversário é 2 dias depois de terça. Que dia é meu aniversário?

O seguinte diagrama mostra que 1 dia depois de terça é quarta; e 2 dias depois de terça é quinta.

Portanto, meu aniversário é quinta.

Parte I

Cada um dos seguintes problemas é acompanhado de um diagrama. Mostre no diagrama todos os passos que você usar para chegar na resposta. Mesmo que você consiga resolver problemas mais fáceis sem um diagrama, você considerará o diagrama indispensável em problemas posteriores mais difíceis.

Exercício 1

Suponha que o dia dos namorados é 3 dias depois de sexta. Que dia é o dia dos namorados?

Suponha que o aniversário de Antonio é 4 dias antes de terça. Que dia é o aniversário de Antonio?

Exercício 3

Suponha que o Natal é dois dias depois de quarta.

a) Que dia é o Natal?

b) Baseado na sua resposta para a letra A., que dia é 4 dias antes do Natal?

Parte II

Os próximos problemas são mais engenhosos porque você precisa trabalhar com a informação dada de trás para frente. Tente resolver este exemplo antes de conferir a resposta.

Sexta é 2 dias depois da festa. Que dia é a festa?

Aqui estão os passos que você poderia usar para resolver o problema. Primeiro a informação dada é representada no diagrama.

Como sexta é depois da festa, nós sabemos que a festa deve ser mais cedo na semana. Quinta é 1 dia depois da festa.

Portanto, a festa deve ser na quarta.

Use passos similares para resolver os seguintes problemas.

Exercício 1

Quarta é 3 dias depois do Dia das Bruxas. Que dia é o dia das bruxas?

Exercício 3

As duas partes deste exercício contrasta com os dois tipos de problemas que você resolveu até agora.

a) Suponha que o Natal é dois dias depois de quinta. Que dia é o Natal?

b) Suponha que quinta é dois dias depois do Natal. Que dia é o Natal?

Parte III

Freqüentemente em problemas lógicos ou matemáticos, você deve supor que algo é verdadeiro e depois deduzir as conclusões que seguirem. Aqui estão quatro formas de apresentar informações que te pedem para supor e deduzir uma conclusão simples.

Defina hoje como terça. Que dia é amanhã?

Suponha que hoje é terça. Que dia é amanhã?

Se hoje é terça, que dia é amanhã?

Hoje é terça. Que dia é amanhã?

Na realidade, hoje pode ser quinta e amanha sexta. Mas cada uma dessas quatro questões pode que você assuma que hoje é terça, em que, no caso, amanhã é quarta. Para os próximos exercícios, suponha que a informação dada é verdadeira e depois deduza a resposta solicitada. Tente resolver este problema antes de conferir sua resposta.

Hoje é quarta. Que dia será 4 dias depois de amanhã?

Este problema pode ser facilmente resolvido, nomeando quarta com hoje no diagrama, e depois contando os dias para encontrar a resposta.

Para cada exercício faça seu próprio diagrama e mostre os passos que você usar para encontrar sua resposta.

Exercício 1

Hoje é quinta. Que será 2 dias depois de amanhã?

Exercício 2

Hoje é sexta. Que dia foi 6 dias antes de ontem?

Exercício 3

Ontem foi segunda. Que dia será 4 dias depois de amanhã?

Exercício 4

Hoje é sábado. Que dia foi o dia depois de 4 dias antes de amanhã?

Parte IV

Geralmente, problemas matemáticos complexos são resolvidos dividindo-os em partes e trabalhando passo por passo. Considere este problema.

Hoje é segunda. Que dia é 1 dia depois de 3 dias antes de ontem?

Uma forma de começar a resolver este problema é separa-lo em partes assim.

Hoje é segunda. Que dia é / 1 dia depois de / 3 dias antes de ontem?

Agora nós podemos usar um diagrama para trabalhar cada passo do problema.

1º passo - Nos disseram que hoje é segunda.

2º passo - Isto significa que ontem foi domingo.

3º passo - Agora nós temos que encontrar 3 dias antes de ontem. Um dia antes de ontem foi sábado; 2 dias antes de ontem foi sexta; então 3 dias antes de ontem foi quinta.

4º passo - Finalmente, nós temos que encontrar o dia que é 1 dia depois disto.

Note como os quatro passos correspondem a quatro partes do problema original.

Use uma forma similar de passo por passo para resolver os seguintes problemas.

Para cada exercício faça seu próprio diagrama e mostre os passos que você usar para chegar à resposta. Talvez você ache mais fácil separar cada problema me partes, como mostrado no primeiro problema.

Exercício1

Hoje é sexta. Que dia é 2 dias antes de 5 dias depois de ontem?

Exercício 2

Hoje é quinta. Que dia é 6 dias antes de 3 dias depois de amanhã?

Exercício 3

Ontem foi terça. Que dia é 2 dias antes de 4 dias depois de amanhã?

Exercício 4

Amanhã é domingo. Que dia é 2 dias depois de 3 dias antes de ontem?

Exercício 5

Hoje é terça. Que dia é 2 dias depois de 10 dias antes do dia depois de amanhã?

Exercício 6

Ontem foi sábado. Que dia é 4 dias antes de 7 dias depois de 2 dias antes de hoje?

Exercício 7

Você pode facilmente inventar novos problemas circulando alternativas neste problema gerador.

Aqui está um exemplo:

Exercício 8

Problemas mais complicados podem ser criados adicionando mais lances. Veja se você consegue analisar este problema separando os lances e trabalhando um depois do outro. Use um diagrama.

Hoje é segunda. Que dia é 3 dias depois de 2 dias antes de 6 dias depois de 5 dias depois de amanhã?
>Solução

Parte V

O próximo grupo de problemas são diferentes do último grupo, assim como os problemas que você resolveu na Parte I eram diferentes daqueles da Parte II. Para ver a diferença, resolva estes dois problemas antes de conferir as respostas.

A. Hoje é domingo. Que dia é 3 dias depois de hoje?
B. Domingo é 3 dias depois de hoje. Que dia é hoje?

Ambos os problemas contém a palavra depois. Mas no problema A você se desloca para a direita para encontrar a resposta.

Para o problema B você se desloca para a esquerda para encontrar a resposta, porque domingo já é depois da resposta.

Problemas tipo B são geralmente mais difíceis porque você deve inverter seu processo de raciocínio. Quando você vê a palavra depois, você normalmente não procura pela resposta mais tarde na semana, e sim mais cedo – o dia mencionado na informação suposta já depois da resposta. Similarmente, quando você vê antes, você geralmente não procura a resposta mais cedo na semana e sim mais tarde. Tente resolver este problema, rotulando inteiramente o diagrama, antes de conferir sua resposta.

Domingo é 3 dias antes de ontem. Que dia foi ontem?

Aqui estão os passos que você pode usar para resolver o problema.

1º passo - Rotule o dia no diagrama.