| Unidade 4 | Módulo 1 | Tela 1 |
| 1
- Definição e Classificação
Iremos
abordar agora os conceitos básicos que fundamentam as séries
de pagamentos e recebimentos, suas classificações, bem
como as características e os procedimentos de cálculo
para o valor presente e para o valor futuro das séries uniformes
postecipadas. Exemplo: Operações de Crédito Direto ao Consumidor – CDC, Poupança Programada etc. Os valores que compõem uma série (pagamento ou recebimento) são denominados de “Termo da Série” e são geralmente representados por “PMT”. As séries podem ser classificadas quanto:
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Tela 2 |
| Quanto à
periodicidade, as séries classificam-se em:
Periódicas – os intervalos de tempo entre dois termos consecutivos (pagamentos ou recebimentos) são iguais, exemplo:
Onde PMT = termo da série, que pode representar o valor de uma prestação ou de um depósito. Não Periódicas – os intervalos de tempo entre dois termos consecutivos (pagamentos ou recebimentos) não obedecem a um padrão uniforme, exemplo:
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Tela 3 |
Quanto
ao número de termos (PMT), as séries podem
ser:
Observação:
a série possui 6 termos, portanto tem final conhecido.
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Tela 4 |
| Quanto
à disposição dos termos (PMT), as
séries são classificadas em:
Conforme demonstrado acima, a série se inicia ao final do primeiro período, se a taxa for mensal, por exemplo, o primeiro termo ocorrerá ao final do primeiro mês. Antecipada – os termos posicionam-se no início de cada intervalo de tempo a que se referir à taxa de juros considerada, exemplo: compra com a primeira prestação ocorrendo no ato da compra.
Conforme demonstrado no fluxo acima, nas séries antecipadas o primeiro fluxo ocorre no momento “0”, ou seja, no momento que a operação é contratada. Diferidas – o primeiro termo ocorre somente depois de decorridos “m” períodos de tempo a que se referir a taxa de juros, exemplo: empréstimo com carência.
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Tela 5 |
| Quanto
ao valor dos termos (PMT), as séries são
classificadas em:
Variáveis – os termos da série têm valores diferentes.
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Tela 6 |
| Independentemente do tipo de série objeto do problema, é importante salientar que os fundamentos aprendidos até o momento continuam sendo aplicados. Assim, caso se deseje conhecer o valor presente de uma série, por exemplo, basta efetuarmos a descapitalização de todos os fluxos da série até a data focal e somá-los. Da mesma forma, se desejarmos conhecer o valor futuro de uma série, basta capitalizarmos todos os fluxos até a data focal desejada e somá-los. Como as séries são formadas sob o regime de capitalização composto, utilizamos as equações de PV e FV para juros compostos, sempre que desejarmos conhecer o valor presente ou o valor futuro de uma série. Para as séries
uniformes postecipadas (SUP) e para as séries uniformes antecipadas
(SUA), estudadas a seguir, os procedimentos de cálculo podem ser
simplificados, mediante a determinação de fatores que aplicados
ao termo da série (PMT), possibilitam sua capitalização
ou descapitalização em uma única operação.
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Tela 7 |
| 2 - Série Uniforme Postecipada (SUP) Também conhecida como “série padrão”, ocorre na maioria das operações de empréstimo e de financiamento realizadas no mercado e possuem as seguintes características:
Exemplo:
Variáveis utilizadas em qualquer série:
Importante!
A variável “n” representa o número
de termos (PMT) da série e não o prazo da operação. |
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Tela 8 |
| 3 - Determinação do Valor Presente (PV) para SUP Conforme visto anteriormente, o valor presente (PV) de um determinado fluxo que ocorrerá no futuro (FV), sob o enfoque do RCC, é dado por:
Tendo em vista que as séries representam conjuntos de fluxos de caixa que ocorrerão ao longo do tempo, referentes a pagamentos ou recebimentos, denominados “termos da série” ou PMT, podemos concluir que o valor presente das séries (PV) será dado pela soma dos valores presentes de todos os “n” fluxos que compõem a série, assim:
Isolando PMT, têm-se:
Ao somatório dos termos do colchete damos o nome de fator de valor presente, dada uma taxa “i” e um número de termos “n”, representado por “FPV(i,n)”, assim, poderemos reescrever a equação (3), como:
A equação
(4) indica que o valor presente de uma série é determinado
mediante a multiplicação do termo da série (PMT)
pelo fator de valor presente, calculado para uma taxa “i”
e um prazo “n” (FPV (i,n)). |
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Tela 9 |
| 4
- Cálculo do FPV(i,n) A partir da equação do FPV (i,n), onde:
Verificamos
que FPV(i,n) representa a soma de uma progressão geométrica
com razão (q) igual a (1+i)-1, primeiro termo
(a1) igual a (1+i)-1 e último termo (an) igual
a (1+i)-n. Sendo a soma de uma progressão geométrica
(Sn), o resultado da equação:
A equação (7), que determina o valor de FPV (i,n), pode, ainda, ser escrita como:
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Tela 10 |
| 1)
Qual será o preço à vista de uma mercadoria adquirida
em 12 parcelas iguais e sucessivas, no valor de R$ 98,00, sabendo-se que
a taxa de juros do financiamento foi de 2% a.m.?
Importante! Sempre que o problema não informar a ocorrência da primeira parcela, iremos considerar como sendo ao final do primeiro período (SUP), por representar a série padrão. Fluxo:
Observação:
Para qualquer série postecipada, com taxa igual a 2% e número
de termos igual a 12, o fator de valor presente (FPV(2%,12))será
igual a 10,575341. |
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Tela 11 |
2) Ao adquirir um eletrodoméstico, uma pessoa financia o valor de R$ 900,00 para pagar em 24 prestações, iguais e sucessivas. Considerando que a taxa de juros da operação foi de 5,5% a.m., calcular o valor das prestações. Fluxo:
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Tela 12 |
| Determinação do Valor Futuro (FV) para SUP Ao estudarmos o RCC, verificamos que o valor futuro (FV), de um dado valor presente (PV), é obtido a partir da equação:
Sendo o valor presente de uma SUP calculado por: (4), substituindo-se o PV da equação (4) na (9), teremos:
Como:
A equação (11) revela que o valor futuro de uma série uniforme postecipada (SUP) pode ser obtido mediante a multiplicação do termo da série (PMT) pelo fator de valor futuro, dada uma taxa “i” e um número de termos “n”, FFV (i,n) ou Snù i, assim, têm-se que:
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Tela 13 |
| 3) A comissão de formatura de uma turma de graduação irá depositar mensalmente R$ 460,00, durante 28 meses, numa opção de investimento que paga 0,6% de juros ao mês. Calcular o montante de recursos que os alunos irão ter, ao final do período, a fim de custear a festa de colação de grau. Fluxo:
Caso efetuássemos a capitalização de todos os termos da série um a um, até a data focal 28, e somássemos os valores encontrados, obteríamos o mesmo resultado de R$ 13.979,62. Observação:
Para qualquer série postecipada, com taxa igual a 0,6% e número
de termos igual a 28, o fator de valor futuro (FFV(0,6%,28)) será
igual a 30,390489. |
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Tela 14 |
| 4)
Para efetuar uma viagem de férias, um indivíduo planeja
efetuar depósitos durante os 9 meses que antecedem a aquisição
de um pacote turístico, que custará R$ 8.000,00. Qual o
valor de cada depósito que ele deverá fazer, sabendo-se
que a modalidade de aplicação financeira escolhida paga
juros à taxa de 1,2% ao mês?
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Tela 15 |
| 5
- Utilizando o Excel
Abrir o Excel e seguir o procedimento 1. Abra uma pasta nova que depois poderá ser arquivada com o nome de SUP. PLANILHA DE CÁLCULO DE VALOR PRESENTE DE SUP 2. No intervalo B2 escreva: PV de Séries Uniformes
Postecipadas – SUP.
7. As fórmulas acima estabelecem as relações lógicas da função. Analisando, por exemplo, a equação da célula D4, terá:
8. Caso deseje
utilizar a função SE diretamente, coloque o cursor na célula
D4 e selecione INSERIR, FUNÇÃO. |
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Tela 16 |
| PLANILHA DE CÁLCULO DE VALOR FUTURO DE SUP 13. No intervalo
B9 escreva: PV de Séries Uniformes Postecipadas – SUP.
Efetue a solução dos exercícios resolvidos no capítulo colocando as variáveis do enunciado nos campos referentes aos “dados” e “?” no campo “dados” da variável que se deseja calcular no problema: “Prestação”, “Valor Presente”, “Taxa” e “Nº de Parcelas”. IMPORTANTE! – Ao utilizar as fórmulas de PV e FV do Excel os valores de PV e FV deverão ter sinais contrários ao da prestação (PMT). Caso PV seja inserido com valor positivo, a prestação deverá ser digitada com valor negativo e vice-versa, o mesmo ocorrendo para FV, evidenciando fluxos de caixa de sentidos opostos. As figuras abaixo representam as planilhas construídas mediante os procedimentos descritos anteriormente:
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Tela 17 |
| Resumo
Pudemos verificar neste módulo que as chamadas séries de pagamentos e recebimentos são, na verdade, conjuntos de fluxos de caixa representativos de uma operação financeira. Uma das séries mais comuns encontradas em operações do mercado são as chamadas SUP, séries uniformes postecipadas, ou padrão. Essas séries caracterizam-se por possuir os termos (prestação ou depósito) com valores iguais e ocorrendo em intervalos de tempo constantes. Além disso, o primeiro termo da série irá acontecer sempre ao final do primeiro período a que se referir a taxa de juros. Exemplo:
Para o cálculo do valor presente de SUP, utilizamos a seguinte equação:
Onde:
A equação (7) também pode ser escrita como:
A equação (4) revela que o valor presente (PV) de uma SUP pode ser obtido mediante a multiplicação do termo da série (PMT) por um fator de valor presente, calculado para uma taxa “i “ e um número de parcelas “n”, empregando-se as equações (7) ou (8). |
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Tela 18 |
Para o cálculo do valor futuro (FV) de uma SUP, utilizamos as seguintes equações:
A fórmula (12) nos diz que o valor futuro de uma SUP pode ser calculado mediante a aplicação de um fator de valor futuro, calculado para uma taxa “i” e um número de parcelas “n” (FFV (i,n)), aplicado sobre o termo (PMT) da série. Esse fator
de valor futuro é calculado mediante a utilização
da equação (13). |
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| Unidade 4 | Módulo 2 | Tela 19 |
| 1
- Série Uniforme Antecipada (SUA)
Dando continuidade ao estudo das séries de pagamentos e recebimentos, vamos conhecer os procedimentos de cálculo do valor presente e do valor futuro das chamadas “séries uniformes antecipadas” (SUA) que, além de possuir fluxos de valores iguais, ocorrendo em intervalos de tempo constantes e com número de termos conhecido (limitado), caracteriza-se pela ocorrência do primeiro fluxo no início do período a que se referir a taxa de juros. Se compararmos o fluxo de caixa representativo de uma
série uniforme antecipada (SUA), ao fluxo de caixa das séries
uniformes postecipadas (SUP), estudadas no módulo anterior, veremos
que a única diferença entre as duas está no momento
da ocorrência do primeiro termo da série. Enquanto nas SUP
o primeiro fluxo ocorre ao final do primeiro período, nas SUA este
fluxo ocorrerá no início do primeiro período. |
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Tela 20 |
| Exemplo: Fluxos
de caixa representativos da aquisição de um produto numa loja
em:
1) Cinco pagamentos iguais e sucessivos, o primeiro ocorrendo no ato da compra (SUA):
2) Cinco pagamentos iguais e sucessivos, o primeiro ocorrendo, um mês após a compra (SUP):
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Tela 21 |
| 2
- Determinação do Valor Presente (PV) das SUA Na aula anterior, verificamos que o valor presente de uma série uniforme postecipada (SUP) é calculado mediante o uso da seguinte equação:
Onde: Se a analisarmos o resultado final da aplicação da equação acima em uma série postecipada, veremos que, de forma resumida, a fórmula faz com que todos os fluxos da série sejam trazidos para o momento “0”, ou seja, os fluxos são trazidos para um período anterior ao primeiro fluxo da série e depois são somados, gerando, assim, o valor presente da série. Representando graficamente, têm-se:
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Tela 22 |
Por analogia, podemos inferir que, caso a fórmula, seja aplicada em uma série antecipada, os fluxos também serão trazidos para um período anterior ao primeiro fluxo da série que, no caso, será o período “-1”, tendo em vista que a série, por ser antecipada, começa no momento “0”.
Como desejamos encontrar o valor presente da série hoje (momento 0), após aplicar a fórmula de valor presente para séries postecipadas, devemos capitalizar o resultado por um período, fazendo com que o valor encontrado no período “-1” (PV’) seja levado até o período “0” onde encontraremos PV, assim:
Sendo o valor presente, para séries antecipadas, igual ao do valor presente calculado pela equação que serve para séries postecipadas PV’ capitalizado por um período:
Sabendo-se que a equação do valor presente de uma série postecipada é:
Substituindo a equação (3) na (2) teremos:
A
equação (4), que serve para o cálculo do valor presente
(PV) de séries uniformes antecipadas, nos diz que este valor pode
ser obtido mediante a multiplicação dos termos da série
(PMT) pelo fator de valor presente (FPV(i,n)) para uma taxa “i”
e um número de termos “n”, capitalizados por um período,
ou seja, multiplicados por (1+i). |
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Tela 23 |
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1) Qual será o preço à vista de uma mercadoria adquirida em 18 parcelas iguais e sucessivas, no valor de R$ 108,00, sabendo-se que a primeira parcela ocorre no ato da compra e que a taxa de juros do financiamento é de 5,5% a.m.? Importante! Sempre que se tratar de uma “SUA”, o problema irá indicar a ocorrência da primeira parcela: “na data atual”, “hoje”, “no momento da compra” etc. Fluxo:
O valor presente de R$ 1.281,38 poderia ser encontrado se descapitalizássemos os fluxos um a um e depois somássemos o resultado. Observação: Para qualquer série antecipada, com taxa igual a 5,5% e número de termos igual a 18, o fator de valor presente (FPV(5,5%,18)) será igual a 11,246074. 2) Uma loja
anuncia a venda de um eletrodoméstico, no valor de R$ 500,00, em
12 prestações, iguais e sucessivas, a primeira ocorrendo
no ato da compra. Considerando que a taxa de juros da operação
é de 6% a.m., calcular o valor das prestações.
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Tela 24 |
3 - Determinação do Valor Futuro (FV) para SUA Ao estudarmos o RCC, verificamos que o valor futuro (FV), de um dado valor presente (PV), é obtido a partir da equação:
Sendo o valor presente de uma SUA calculado por: PV = PMT x FPV(i,n) x (1+i), conforme verificamos neste módulo, substituindo-se o PV da SUA na equação (5), teremos:
Como:
Tendo em
vista que
A equação (8) revela que o valor futuro de uma série uniforme antecipada (SUA) pode ser obtido mediante a multiplicação do termo da série (PMT) pelo fator de valor futuro, dada uma taxa “i” e um número de termos “n”, FFV(i,n), capitalizado por um período, ou seja, multiplicado por (1+i). |
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Tela 25 |
| 3) Uma pessoa decide depositar mensalmente R$ 135,00, durante 5 anos, numa opção de investimento que paga 0,6% de juros ao mês. Calcular o montante de recursos que ela terá ao final do período, sabendo que o primeiro depósito será efetuado na data de hoje. Fluxo:
O montante de R$ 9.773,53 também poderia ser encontrado mediante a soma do resultado da capitalização dos fluxos um a um, até a data focal 60. Observação:
Para qualquer série antecipada, com taxa igual a 0,6% e número
de termos igual a 60, o fator de valor futuro (FFV(0,6%,60)) será
igual a 71,964735. |
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Tela 26 |
| 4) Caso um indivíduo necessite de R$ 5.000,00 para daqui a uma ano, quanto terá que depositar mensalmente, a partir de hoje, numa opção de investimento que rende 1% a.m., a fim de obter o recurso no prazo requerido? Fluxo:
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Tela 27 |
4 - Utilizando o Excel Abrir o Excel e seguir o procedimento 1. Abra uma pasta nova que depois poderá ser arquivada com o nome de SUA. PLANILHA DE CÁLCULO DE VALOR PRESENTE DE SUA 2. No intervalo
B2 escreva: PV de Séries Uniformes Antecipadas – SUA. 6.1 Na célula
D4: =SE(C4="?";PGTO(C6;C7;C5;;1);"") 7. As fórmulas acima estabelecem as relações lógicas da função. Analisando, por exemplo, a equação da célula D4, terá: SE
for cumprida a condição lógica C4 = “?” 8. Caso deseje
utilizar a função SE diretamente, coloque o cursor na célula
D4 e selecione INSERIR, FUNÇÃO. |
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Tela 28 |
PLANILHA DE CÁLCULO DE VALOR FUTURO DE SUA 13. No intervalo
B9 escreva: PV de Séries Uniformes Antecipadas – SUA. 17.1 Na célula
D11: =SE(C11="?";PGTO(C13;C14;;C12;1);"") Efetue a solução dos exercícios resolvidos no capítulo colocando as variáveis do enunciado nos campos referentes aos “dados” e “?” no campo “dados” da variável que se deseja calcular no problema: “Prestação”, “Valor Presente”, “Taxa” e “Nº de Parcelas”. IMPORTANTE! – Ao utilizar as fórmulas de PV e FV do Excel os valores de PV e FV deverão ter sinais contrários ao da prestação (PMT). Caso PV seja inserido com valor positivo, a prestação deverá ser digitada com valor negativo e vice-versa, o mesmo ocorrendo para FV, evidenciando fluxos de caixa de sentidos opostos. As figuras abaixo representam as planilhas construídas mediante os procedimentos descritos anteriormente:
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Tela 29 |
Resumo As chamadas Séries Uniformes Antecipadas (SUA) diferenciam-se das SUP apenas devido ao fato de que o primeiro pagamento ou recebimento ocorrerá no início do período a que se referir à taxa de juros da operação. Assim, em
termos genéricos, temos o seguinte fluxo representativo de uma
SUA:
Para o cálculo do valor presente de SUA, utilizamos a seguinte equação:
Onde:
Ou, ainda:
A equação (4) revela que o valor presente (PV) de uma SUA pode ser obtido mediante a multiplicação do termo da série (PMT) por um fator de valor presente, calculado para uma taxa “i “ e um número de parcelas “n” (FPV(i,n)), capitalizado por um período, ou seja, multiplicado por (1+i). |
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Tela 30 |
Para o cálculo do valor futuro (FV) de SUA, utilizamos a seguinte equação:
A fórmula (8) nos diz que o valor futuro de uma SUA pode ser calculado mediante a aplicação de um fator de valor futuro, calculado para uma taxa “i” e um número de parcelas “n” (FFV (i,n)), aplicado sobre o termo (PMT) da série, capitalizado por um período, ou seja, multiplicado por (1+i). Esse fator de valor futuro é calculado mediante a utilização da equação
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| Unidade 4 | Módulo 3 | Tela 31 |
| 1 - Coeficiente de Financiamento para SUP Podemos definir coeficiente de financiamento como sendo o fator que aplicado sobre o valor presente de um determinado bem ou serviço nos dará o valor da prestação para uma taxa de juros “i” e um número de parcelas “n”. Sabemos que o Valor Presente de uma série postecipada é calculado aplicando-se a seguinte equação: PV = PMT x FVP (i,n) (1)
ou:
Considerando a definição dada anteriormente para o Coeficiente de Financiamento (CF), onde este representa “o fator que aplicado sobre o valor presente de um determinado bem ou serviço nos dará o valor da prestação para uma taxa de juros “i” e um número de parcelas “n” pode-se concluir, a partir da equação (3) que:
Como já vimos:
Substituindo a equação (5) na (4) e resolvendo-a, teremos:
A partir da equação (6), poderemos calcular o coeficiente de financiamento de SUP para qualquer taxa “i” e número de parcelas “n”. |
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Tela 32 |
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1) Uma loja de eletrodomésticos financia a venda de seus produtos a uma taxa de 4,2% ao mês. Sabendo-se que as compras podem ser efetuadas em até 3 parcelas, a primeira vencendo trinta dias após a aquisição do produto, pede-se: a) Calcular o coeficiente
de financiamento para compras efetuadas em 1, 2 e 3 parcelas. a) Variáveis: i = 0,042 e n = 1, 2 ou 3
Para n=1
CF(4,2%,1)
= 1,042
CF(4,2%,3) = 0,361717 R: para uma parcela, o CF será de 1,042, para duas 0,531716 e para 3 0,361717. Estes valores, aplicados ao preço a vista do bem nos darão o valor das parcelas para 1, 2 ou 3 prestações, respectivamente. |
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Tela 33 |
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b) Para calcular o valor das parcelas para financiamentos de 1, 2 e 3 prestações, basta aplicar os coeficientes no valor presente (à vista) do bem: Variáveis: PV = 900,00; CF(4,2%,1) = 1,042; CF(4,2%,2)= 0,531716 e CF(4,2%,3) = 0,361717. Sendo: PMT = PV x CF(i,n)
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Tela 34 |
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2 - Coeficiente de Financiamento para SUA Da mesma maneira que ocorre em SUP, o coeficiente de financiamento (CF(i,n)) para SUA, a uma determinada taxa de juros (i) e um dado número de parcelas (n) é o fator que aplicado sobre o valor presente (PV) de um determinado bem ou serviço resultará na prestação da série (PMT). Sendo o valor presente de uma série antecipada calculado pela equação:
Resolvendo a equação (7) para a prestação, teremos:
Ou:
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Tela 35 |
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Considerando-se a definição dada anteriormente para o Coeficiente de Financiamento, pode-se concluir que o coeficiente de financiamento para SUA (CF”(i,n)), dada uma taxa “i” e um número de termos “n” será:
Dado que:
A partir da equação (11), podemos calcular o coeficiente de financiamento para Séries Uniformes Antecipadas (CF”(i,n)) para qualquer taxa “i” e prazo “n”. Aplicando-se
os coeficientes calculados mediante o uso da equação (11),
no valor presente do bem ou serviço, teremos o valor das prestações
para diferentes prazos, para séries uniformes antecipadas (SUA). |
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Tela 36 |
| 1) Uma loja financia a venda de seus produtos em 3 parcelas, a primeira sendo paga no ato da compra, a uma taxa de 5% ao mês. Com base nestas informações: a) Calcule
o coeficiente de financiamento para financiamentos em 2 e 3 parcelas. a) Variáveis: i = 0,05 e n = 2 ou 3 (condições = SUA)
Para n=2
CF”(5%,2) = 0,512195 Para n=3
CF”(5%,3) = 0,349722 O coeficiente de financiamento (CF) para duas parcelas será de 0,512195 e para três parcelas 0,349722. Estes valores aplicados ao preço à vista de um produto nos darão o valor das prestações para financiamentos pagos em duas e três parcelas, respectivamente. |
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Tela 37 |
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b) Para calcular o valor das parcelas para financiamentos de 2 e 3 prestações, basta aplicar os coeficientes no valor presente (à vista) do bem: Variáveis: PV = 500,00; CF”(5%,2) = 0,512195; CF”(5%,3)= 0,349722 Sendo: PMT = PV x CF”(i,n)
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Tela 38 |
| 3 - Utilizando o Excel Abrir o Excel e seguir o procedimento Os procedimentos abaixo servem apara a construção de tabelas de coeficientes com até 10 prestações e 5 taxas. 18. Abra uma pasta nova que depois poderá ser arquivada com o nome de Coeficientes de Financiamento PLANILHA DE CÁLCULO DO CF para SUP 19. Na
célula B2 escreva: Coeficiente de Financiamento – SUP.
23. Copie o intervalo C4:C13 para os intervalos D4:D13, E4:E13, F4:F13 e G4:G13. PLANILHA DE CÁLCULO DO CF para SUA 24. Efetue os mesmos procedimentos (1 a 6) utilizados para a construção da tabela de coeficientes para SUP, alterando apenas as fórmulas, conforme abaixo:
A figura abaixo representa a planilha construída mediante os procedimentos descritos anteriormente:
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Tela 39 |
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Resumo Os coeficientes de financiamento (CF(i,n)) são fatores que aplicados sobre o valor presente (PV) de determinado produto ou serviço, dada uma certa taxa de juros (i) e um número de parcelas (n), irão gerar o valor da prestação de um financiamento. No caso
de operações caracterizadas por Séries Uniformes
Postecipadas (SUP), o coeficiente de financiamento (CF(i,n)) é
calculado mediante a seguinte equação:
Para Séries
Uniformes Antecipadas (SUA), onde a primeira parcela é paga no
ato da compra, o cálculo do coeficiente de financiamento (CF”(i,n))
é efetuado pela expressão:
A partir dessas duas fórmulas, podemos montar tabelas de coeficientes que facilitem o dia a dia das empresas e que poderão ser utilizadas pelos vendedores, por exemplo, para o cálculo das prestações para diversas opções de compra. |
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| Unidade 4 | Módulo 4 | Tela 40 |
| 1
- Valor Presente Líquido (VPL)
O Valor presente Líquido (VPL) e a Taxa Interna de Retorno (TIR) constituem as principais metodologias empregadas pelo mercado, para auxiliar na tomada de decisões de investimentos. Partindo-se
do princípio de que todo projeto de investimento, enquanto operação
financeira pode ser descrito por um fluxo de caixa, a análise
desse fluxo por uma das metodologias aqui abordadas (VPL ou TIR) subsidia
a tomada de decisão quanto a: Considerado o principal critério para avaliação de projetos de investimento, o Valor Presente Líquido, ou VPL, pode ser conceituado como a diferença entre os fluxos de caixa de um projeto (entradas e saídas) descapitalizados até o momento “0” e o seu custo inicial. Tomando-se a figura abaixo como a representação genérica dos fluxos gerados por projetos de investimento:
Onde: FC0 = Fluxo
inicial (custo) A equação de cálculo do VPL, a partir de sua definição, é dada por:
Ou
Conforme podemos inferir pela equação (2), o valor presente líquido de um fluxo de caixa qualquer (VPL), nada mais é do que o somatório (Σ) do valor presente dos benefícios ou prestações (FCj), descapitalizados para o momento “0”, menos o custo inicial da operação de investimento (FC0) A taxa que serve para a descapitalização dos fluxos (r), também denominada taxa de atratividade, representa o retorno exigido pelos investidores para entrar no projeto. |
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Tela 41 |
| 2
- Regras de Utilização do VPL
Escolhida a taxa mínima de retorno (r), um investimento deve ser aceito se o VPL for positivo (VPL > 0) e rejeitado se o VPL for negativo (VPL < 0). Havendo mais de um projeto disponível que possa ser aceito, a escolha recairá naquele de maior VPL. |
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Tela 42 |
| 1) A partir
do fluxo de caixa abaixo, representativos de um projeto de investimento,
calcule o VPL considerando uma taxa de desconto (atratividade) de:
1a) VPL para r = 10%
VPL = R$ 4.729,87 Resposta: Com base no critério do VPL, a uma taxa de retorno de 10% o investimento deverá ser aceito, pois o VPL é igual a R$ 4.729,87 e, portanto, maior que zero. |
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Tela 43 |
| 1b) VPL para r = 18%
VPL = – R$ 1.547,33 Resposta: Com base no critério do VPL, a uma taxa de retorno de 18% o investimento deverá ser rejeitado, pois o VPL é igual a – R$ 1.547,33 e, portanto, menor do que zero. Importante! Um projeto com VPL > 0 indica que o valor presente dos benefícios esperados para o projeto é maior que seu custo. Por outro lado, um projeto com VPL < 0 indica que o valor presente dos fluxos de caixa esperados para este projeto é inferior ao seu custo. |
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Tela 44 |
| Utilizando a HP12C Valor presente de um capital ou conjunto de capitais Tendo em vista que o dinheiro tem valor no tempo, qualquer capital expresso numa data futura tem um valor equivalente na data de hoje. Este valor equivalente ou também chamado valor atual ou ainda denominado valor presente, é muito importante para a análise da viabilidade dos projetos de investimento e por conseqüência para a tomada de decisão. Exemplo: Qual o valor presente de uma debênture de R$ 90.000.00 de parcela única, com vencimento para 12 meses e taxa de juros de 3%a.m.?
Pode-se trabalhar com a taxa mensal ou achar a equivalente anual. Utilizando a fórmula de descapitalização temos:
Ou seja, a debênture de vence em 12 meses, no valor de R$ 90.000,00, deve ser comprada hoje a um preço de R$ R$ 63.124,19. Também pode-se resolver esta questão utilizando a HP12C conforme fluxo abaixo: 1o –
Zerar a memória da calculadora Da mesma forma que calcula-se o valor presente de um fluxo de capital pode-se calcular também o valor presente de um conjunto de capitais, que é dado pela soma dos valores atuais de cada um dos capitais que compõem o fluxo total. Neste caso não existe uma fórmula única que calcule todos os conjuntos de capitais. A solução ocorre por intermédio da calculadora financeira. |
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Tela 45 |
| Exemplo: Um cliente quer pagar uma dívida ao banco representada por 4 notas promissórias com vencimentos mensais consecutivos, no valor de R$1.000, R$2.000, R$3.000 e R$4.000. Qual o valor presente desta dívida sabendo-se que a taxa de juros é de 2% a.m.?
Num primeiro momento alguém poderia pensar que bastaria somar o valor das notas promissórias e o montante da dívida seria R$10.000,00. Lembre-se que o dinheiro muda seu valor no tempo. R$ 4.000,00 daqui a 4 meses tem valor diferente que R$ 4.000,00. Portanto, como o cliente deseja pagar sua dívida futura hoje, é necessário trazer seu fluxo de pagamentos futuros a valor presente. Para tanto deve-se procede da seguinte maneira:
O valor é bem diferente que os R$ 10.000,00 formados pela simples soma das parcelas nominais. O exemplo acima é simples. Possui apenas 4 fluxos e por esta razão é possível soluciona-la utilizando a fórmula de descapitalização de juros compostos. Contudo, na vida prática os fluxos são mais complexos e o auxílio da calculadora torna-se imprescindível. Para tanto é necessário conhecer-se mais três teclas e o uso das funções f e g na HP12C. |
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Tela 46 |
| Utilizando a HP12C
1º Passo: Zerar a máquina 2º Passo: Inserir o fluxo de caixa no momento inicial. No momento 0 não há fluxo de caixa. Na verdade neste momento localiza-se o valor que se quer descobrir. Desta forma não é necessário inserir nenhum valor no momento zero ou inserir o valor 0.Quem quiser praticar pode inserir o valor 0 da seguinte maneira: Teclar
3º Passo: Inserir os fluxos de caixa. No exemplo são 4 fluxos de valores diferentes entre si. É necessário entrar um a um conforme instrução a seguir:
4º
Passo: Inserir a taxa 5º Passo: Achar o Valor Presente Após
o procedimento de entrada de todos os dados, basta achar o Valor Presente
dos fluxos inseridos, teclando |
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Tela 47 |
| 3
- Taxa Interna de Retorno (TIR)
A Taxa Interna de Retorno (TIR) é a taxa de desconto que iguala o VPL estimado de um investimento a zero. Matematicamente, dado que o VPL é calculado por:
Aplicando-se o conceito da TIR na equação acima, onde a TIR é a taxa de desconto que torna o VPL = 0, têm-se:
Isolando FC0:
A partir da equação (3) acima, pode-se inferir que a TIR será a taxa de desconto ou retorno que iguala o valor presente dos fluxos futuros de um investimento ao seu custo inicial. Calculada a TIR de um projeto, este será aceito se a taxa encontrada for superior à taxa de retorno exigida pelo investidor e rejeitado se for inferior a esta taxa. Havendo mais de um projeto disponível que possa ser aceito, a escolha recairá naquele de maior TIR. |
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Tela 48 |
| Cálculo da TIR O cálculo da TIR não é direto e, mesmo realizado mediante o uso de calculadoras financeiras, ou do Excel, constitui-se num processo de tentativa e erro. Para permitir maior agilidade nesse processo, utilizaremos um método denominado interpolação linear, baseado na equivalência de triângulos. Inicialmente, vamos inferir sobre a relação entre a taxa de juros e o valor presente de fluxos de caixa e depois transpor esta relação geometricamente. Analisando a equação (3) que explicita o conceito da TIR, onde:
Podemos
inferir, a partir da equação (3), que a taxa de retorno
(r) possui uma relação inversa com o custo inicial do
projeto (FC0), devido a encontrar-se no denominador da equação
que transforma o somatório ( Assim, no processo de tentativa e erro para determinar a TIR, caso seja escolhida uma taxa de retorno maior do que a TIR verdadeira, o valor presente dos fluxos de caixa será menor do que FC0. Por outro lado, caso seja escolhida uma taxa de retorno menor do que a TIR verdadeira, o valor presente dos fluxos será maior do que FC0. |
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Tela 49 |
| Representando a relação entre a taxa e o valor presente dos fluxos em termos geométricos, têm-se:
Na figura acima podemos verificar que a TIR é a taxa (r) que iguala o valor presente (PV) dos fluxos de caixa futuros de um projeto ao seu custo FC0. Se a taxa escolhida for superior (TS) a TIR, resultará em um valor presente inferior (PVI) ao FC0, dada sua relação inversa. Se a taxa escolhida for inferior (TI) a TIR, resultará em um valor presente superior (PVS) ao FC0. Esta relação, demonstrada geometricamente, gera dois triângulos cuja razão dos lados (abc e ade) forma uma proporção, assim:
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Tela 50 |
| Sendo no triângulo:
Substituindo
as equações (5), (6), (7) e (8) na (4), têm-se:
Resolvendo a equação (9) para a TIR:
Determinadas as variáveis; TS, TI, PVS e PVI, a equação (10) é aplicada para se obter a TIR. |
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Tela 51 |
| 1) Calcular a taxa interna de retorno do fluxo de caixa abaixo, representativo de um projeto de investimento, indicando se o mesmo deverá ou não ser aceito, caso a taxa de retorno exigida pelos investidores seja de 18% ao ano.
O valor encontrado é PVI, dado que é menor do que FC0. 2º Passo – Identifique se a primeira taxa escolhida é superior (TS) ou inferior (TI) a TIR. Lembre-se que se PV > FC0 a taxa será inferior e se PV < FC0 a taxa será superior. No exemplo, 16% é a taxa superior TS, dado que o PV encontrado, no valor de R$ 49.893,36 (1º passo) é inferior ao FC0 de R$ 50.000,00. |
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Tela 52 |
| 3º Passo – Se a taxa escolhida anteriormente for uma TS, você deverá encontrar uma TI, caso contrário, se a taxa for uma TI, você deverá encontrar uma TS. Como já
achamos a TS, vamos tentar com 15% para verificar se esta é uma
TI (lembre-se, o resultado do PV deverá ser maior do que FC0)
Tendo em vista que com 15% o valor encontrado é superior ao FC0, podemos aceitar esta taxa como sendo a taxa inferior (TI) e o valor gerado por ela como o valor superior (PVS). 4º
Passo – Calcula-se a TIR, equação (10), a partir
dos resultados obtidos nos passos 1, 2 e 3, onde encontramos:
Resposta: A TIR do projeto é de aproximadamente 15,86% e, como a taxa exigida pelos investidores é de 18%, o investimento não deverá ser aceito. |
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Tela 53 |
| 4
- Utilizando o Excel 25. Abra uma pasta nova que depois poderá ser arquivada com o nome de VPL e TIR. PLANILHA DE CÁLCULO DO VPL E DA TIR 26. Na
célula B2 escreva: Cálculo do VPL e da TIR.
34. As fórmulas acima estabelecem as relações lógicas da função. Analisando, por exemplo, a equação da célula D4, terá:
35. Caso
deseje utilizar a função SE diretamente, coloque o cursor
na célula D4 e selecione INSERIR, FUNÇÃO. Efetue a solução dos exercícios resolvidos no capítulo colocando as variáveis do enunciado nos campos referentes aos “dados” e “?” no campo “dados” da variável que se deseja calcular no problema: “VPL” ou “TIR”. IMPORTANTE! – Esta planilha está preparada para a solução de problemas envolvendo até 16 fluxos. Os fluxos negativos (aplicação de recursos) deverão ser indicados com o sinal “-“. A figura abaixo representa a planilha construída mediante os procedimentos descritos anteriormente:
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Tela 54 |
| Resumo Verificamos, neste módulo, que as duas metodologias mais empregadas na análise de investimentos são o Valor Presente Líquido (VPL) e a Taxa Interna de Retorno (TIR). Matematicamente, o VPL de um determinado fluxo de caixa é dado por:
A equação (1) revela que o Valor Presente Líquido de um fluxo de caixa (VPL) será o resultado da soma dos valores presentes dos fluxos gerados por este projeto (FCj), descontados por uma taxa de atratividade (r), previamente definida, menos o seu custo inicial (FC0). Pelo método do VPL, um determinado projeto de investimento será aceito se o seu VPL se apresentar positivo (VPL > 0) e será rejeitado se o seu VPL for negativo (VPL < 0). Existindo mais de um projeto com VPL positivo, será preferível aquele que tiver o maior VPL. |
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Tela 55 |
| Quanto a chamada “Taxa Interna de Retorno” (TIR), verificamos que, conceitualmente, representa a taxa que iguala o somatório (S) dos valores presentes dos fluxos esperados de um investimento (FCj) ao seu custo inicial (FC0), onde:
O cálculo da TIR é obtido mediante processo de tentativa e erro e pela aplicação da seguinte fórmula:
Onde: PVS = valor
presente superior ao FC0, encontrado ao aplicarmos aleatoriamente
uma taxa inferior a TIR na equação (3) |
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| Unidade 5 | Módulo 1 | Tela 56 |
| 1
- Definições
Sistemas de Amortização - Constituem-se na forma pela qual empréstimos e financiamentos são devolvidos aos credores (mutuantes), pelos devedores (mutuários), por meio de pagamentos periódicos denominados prestações. Prestação (PMT) - Representam a soma das parcelas referentes à amortização (A) e aos juros (J) de uma operação de empréstimo ou de financiamento, pagas periodicamente, conforme estipulado em contrato firmado entre as partes credora e devedora. Em termos matemáticos, têm-se:
Amortização (A) - Refere-se à parcela da prestação (PMT) que serve para a reposição do capital emprestado, ou seja, é a devolução propriamente dita do recurso que se tomou emprestada.
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Tela 57 |
| 2
- Principais Sistemas de Amortização
Embora possa variar segundo cada contrato, os principais sistemas de amortização empregados pelo mercado financeiro são:
Variáveis - Independente do sistema sob análise, empregaremos sempre as seguintes variáveis: PV = valor do empréstimo ou financiamento |
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Tela 58 |
| Sistema
Francês de Amortização – SFA
ou Tabela Price - Também chamado de “Tabela Price”,
em homenagem ao inglês Richard Price, seu criador, recebe a denominação
de “Sistema Francês” devido a sua ampla utilização
na França no século XIX.
Talvez o sistema mais utilizado pelo mercado, caracteriza-se por representar uma série de prestações (PMT) periódicas (ocorrendo em intervalos constantes), iguais (soma da amortização mais juros com mesmo valor durante todo o contrato) e sucessivas. Como podemos verificar. O SFA caracteriza-se por ser uma Série Uniforme Postecipada – SUP, estudada na Unidade IV. Para melhor entender a construção dos planos de pagamentos pelo SFA, vamos resolver o exemplo a seguir: |
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Tela 59 |
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1)
Seja um financiamento de R$ 10.000,00, à taxa de juros de 1,5%
ao mês, a ser pago em 6 prestações mensais e iguais,
mostrar o valor das prestações, os juros pagos, as amortizações
e os saldos devedores para cada mês.
Como o valor das prestações é igual, sabemos que se trata do SFA. 1º Passo – construa a tabela conforme abaixo, colocando no mês “0”, mês atual, o valor do empréstimo (R$ 10.000,00) no saldo devedor.
A tabela será preenchida da direita para a esquerda, a partir do cálculo da prestação que terá o mesmo valor para todos os meses. |
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Tela 60 |
| 2º
Passo – calcule o valor das prestações e insira na
tabela. O cálculo das prestações é efetuado
mediante a utilização da fórmula do valor presente
(PV) de séries uniformes postecipadas (SUP), onde:
No exemplo:
Preenchendo a tabela com o valor das prestações:
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Tela 61 |
| 3º
Passo: calcule os juros (J) da 1ª parcela aplicando a taxa unitária
do contrato sobre o saldo devedor do período anterior.
Para a primeira parcela (mês 1) o saldo devedor do período anterior (0) é igual a R$ 10.000,00. Como a taxa contratada foi de 1,5%, o juro (J) será igual a 0,015 x 10.000,00 = 150,00. Preenchendo a tabela com o valor dos juros da 1ª parcela:
4º Passo: Defina o valor da amortização da primeira parcela. Dado que a prestação (PMT) é definida como a soma da amortização (A) mais juros (J), ou seja: PMT = A + J (1) Resolvendo a equação (1) para a amortização (A) teremos: A = PMT – J (2) A equação (2) revela que a amortização pode ser encontrada mediante a subtração dos juros (J) da prestação (PMT). Dado que no exemplo: PMT = 1.755,25 e os juros (J) da 1ª parcela são iguais a 150, então, aplicando-se a equação (2), obteremos: A = 1.755,25 – 150 = 1.605,25 Preenchendo a tabela com o valor da amortização da 1ª parcela:
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Tela 62 |
| 5º
Passo – Encontre o saldo devedor após o pagamento da primeira
parcela.
Por definição, o saldo devedor (SD) em um momento qualquer “t” será o saldo devedor do período anterior “t-1” subtraído da parcela de amortização (A) que, em última análise, representa a devolução de uma parte do capital emprestado. Assim: SDt = SDt-1– A (3) Para o momento um, têm-se: SD0 = 10.000 e A1 = 1.605,25, então: SD1 = 10.000 – 1.605,25 = 8.394,75 Preenchendo a tabela com o valor do saldo devedor após o pagamento da 1ª parcela:
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Tela 63 |
| 6º
Passo – Preencha o restante da tabela repetindo do 3º ao 5º
passo para as demais prestações, lembrando que:
Jt = i x SDt-1 At = PMT – Jt SDt = SDt-1- At Onde: Exemplo para a segunda prestação (t = 2): J = 0,015 x 8.394,75 = 125,92 A = 1.755,25 – 125,92 = 1.629,33 SD = 8.394,75 – 1.629,33 = 6.765,42 Efetuando-se o cálculo para as demais parcelas encontraremos a seguinte tabela:
Observação: O resíduo de R$ 0,01 no saldo devedor, após o pagamento da última parcela, decorre do arredondamento do valor das prestações. No mercado, este resíduo é geralmente acrescentado ao valor da última parcela. Conforme podemos verificar, o SFA caracteriza-se por juros (J) decrescentes e amortizações (A) crescentes no decorrer do contrato. |
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Tela 64 |
| 3
- Fórmulas de Cálculo do SFA
Ao invés de construirmos a tabela passo a passo, poderemos utilizar as seguintes equações para a solução de problemas envolvendo a Tabela Price: Cálculo do valor das prestações
Cálculo do valor da amortização na t-ésima prestação
Cálculo do saldo devedor na t-ésima prestação
Cálculo da parcela de juros na t-ésima prestação
Fórmula do fator de valor presente (FPV(i,n))
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Tela 65 |
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2) Uma pessoa realiza um financiamento de R$ 12.000,00 à taxa de juros de 2% ao mês, para ser pago em 4 prestações mensais, com dois meses de carência para o primeiro pagamento. Com base nestas informações calcule a) o valor das prestações; b) o saldo devedor após o pagamento da segunda parcela; c) os juros pagos na terceira parcela, e d) o valor da amortização da quarta parcela. Dado que o financiamento possui carência de dois meses, ou seja, não há pagamento de prestações, os juros devidos para estes períodos são incorporados ao capital e o cálculo das prestações se dá sobre o saldo devedor do período anterior ao pagamento da primeira parcela, no exemplo: R$ 12.484,80. Visualizando na tabela:
a) Cálculo da prestação:
Importante! Poderíamos encontrar os resultados das questões de ”a a “d” construindo passo a passo a tabela, conforme visto anteriormente, ou efetuar o cálculo dos valores aplicando as fórmulas para cada variável, conforme veremos a seguir. |
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Tela 66 |
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b) Cálculo do saldo devedor após o pagamento da segunda parcela:
c) Cálculo dos juros pagos na terceira parcela: Jt = SDt-1xi J3 = SD2xi J3
= 6.365,99 x 0,02 d) Cálculo do valor da amortização na quarta parcela: At = A1(1+i)t-1 A4 = A1(1+i)3 A primeira amortização A1 é igual a prestação menos o juros, ou seja A1 = 3.278,80 – 249,70 = 3.029,10, assim: A4 = 3.029,10(1+0,02)3 A4 = 3.214,51 Construa a tabela passo a passo para verificar que as respostas estão corretas. |
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Tela 67 |
| 4 - Utilizando o Excel Abrir o excel e seguir o procedimento Tendo em vista a diversidade de operações que envolvem o SFA, torna-se impossível a construção de uma tabela única no Excel que seja aplicável a todos os contratos. Desta maneira, iremos demonstrar um exemplo de planilha que pode ser utilizada em operações de empréstimo ou financiamento, sem carência e com até doze parcelas.
PLANILHA DE CÁLCULO DO SFA 2. Na célula
B2 escreva: Sistema Francês de Amortização –
Tabela Price
9. As fórmulas acima estabelecem as relações lógicas da função. Analisando, por exemplo, a equação da célula 8, teremos: SE
for cumprida a condição lógica B8<=$C$5 (o sinal
$ serve para fixar a célula)
ENTÃO calcule -PGTO($C$4;$C$5;$C$3;;0) e apresente o resultado na célula F8 SENÃO registre um rótulo vazio “” na célula F8 10. Caso
deseje utilizar a função SE diretamente, coloque o cursor
na célula F8 e selecione INSERIR, FUNÇÃO. Efetue a solução dos exercícios resolvidos no capítulo colocando as variáveis do enunciado nos campos “Valor Emprestado”; “Taxa” e “Número de Parcelas”. A figura abaixo representa a planilha construída mediante os procedimentos descritos anteriormente:
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Tela 68 |
| Resumo Os sistemas de amortização podem ser definidos como a forma pela qual uma determinada operação de empréstimo ou de financiamento será liquidada ao longo da vigência de um contrato. A liquidação se dá mediante o pagamento de prestações (PMT), compostas por duas parcelas, uma referente aos juros (J) e outra ao valor da amortização (A). Enquanto os juros representam o custo contratual da operação, a amortização representa a parcela de capital que é devolvida a cada prestação paga. Assim, podemos dizer que, para qualquer sistema, a prestação será igual a soma dos juros e da amortização, ou seja: PMT = J + A (1) Outro componente dos sistemas de amortização é o saldo devedor (SD) que corresponde, a qualquer momento, ao valor emprestado menos as amortizações realizadas. Um dos sistemas mais empregados pelo mercado é o chamado “Sistema Francês de Amortização” (SFA), também conhecido pelo nome de “tabela price”, cuja característica principal consiste em possuir prestações constantes, iguais e sucessivas. Para representarmos uma operação baseada no SFA, devemos construir uma tabela contendo o valor das prestações (PMT), dos juros (J), das amortizações (A) e do saldo devedor (SD) para cada período. Após o cálculo do valor das prestações pela fórmula do valor presente (PV) de séries uniformes postecipadas, onde:
sendo:
Calculamos, para cada parcela: a) os juros
– aplicando a taxa do contrato sobre o saldo devedor do período
anterior; |
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Tela 69 |
| Outra maneira de calcularmos as variáveis do SFA, para cada parcela “t” do contrato é aplicarmos as seguintes equações: Cálculo do valor das prestações
Cálculo do valor da amortização na t-ésima prestação
Cálculo do saldo devedor na t-ésima prestação
Cálculo da parcela de juros na t-ésima prestação
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| Unidade 5 | Módulo 2 | Tela 70 |
| 1
- Sistema de Amortização Constante - SAC
O Sistema de Amortização Constante – SAC, como o próprio nome indica, caracteriza-se por parcelas de amortização iguais (constantes) para todo o prazo da operação. Dessa maneira, calcula-se o valor das amortizações (A) dividindo-se o valor do empréstimo ou financiamento (PV) pelo número de prestações do contrato (n), ou seja:
Calculada as amortizações, utilizamos os conceitos apresentados no módulo anterior para a elaboração do plano de pagamentos, onde:
O saldo devedor, equação (2), será o resultado da subtração da parcela de amortização (A) no saldo devedor do período anterior (SDt-1). A equação (3) revela que os juros para uma determinada parcela (t) será dado pela aplicação da taxa de juros do contrato (i) sobre o saldo devedor da parcela anterior (SDt-1). Por fim, na equação (4), verificamos que o valor da prestação (PMT) corresponde a parcela referente a amortização (A) mais os juros (J). |
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Tela 71 |
| 1) Determine o plano de pagamento de um empréstimo de 5.000,00, realizado pelo SAC, a uma taxa de juros de 2,5% ao mês, em 4 prestações mensais. 1º Passo: Calcule o valor das amortizações e preencha a tabela:
2º Passo: Conhecido o valor das amortizações, calcule o saldo devedor para cada período, incluindo os valores na tabela:
SD1 = SD0 – A Þ SD1 = 5.000 – 1.250 Þ SD1 = 3.750 SD2 = SD1 – A Þ SD2 = 3.750 – 1.250 Þ SD2 = 2.500 SD3 = SD2 – A Þ SD3 = 2.500 – 1.250 Þ SD3 = 1.250 SD4 = SD3 – A Þ SD3 = 1.250 – 1.250 Þ SD4 = 0 Na tabela:
3º Passo: A partir do valor dos saldos devedores, determine os juros pagos em cada prestação, colocando-os na tabela:
J1 = SD0 x i Þ J1 = 5.000 x 0,025 Þ J1 = 125,00 J2 = SD1 x i Þ J2 = 3.750 x 0,025 Þ J2 = 93,75 J3 = SD2 x i Þ J3 = 2.500 x 0,025 Þ J3 = 62,50 J4 = SD3 x i Þ J4 = 1.250 x 0,025 Þ J4 = 31,25 Na tabela:
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Tela 72 |
| 4º Passo: Conhecidos os valores da amortização (A) e dos juros (J), determine os valores referentes às prestações, finalizando a construção da tabela: PMT = A + J PMT1 = A + J1 Þ PMT1 = 1.250,00 + 125,00 Þ PMT1 = 1.375,00 PMT2 = A + J2 Þ PMT2 = 1.250,00 + 93,75 Þ PMT2 = 1.343,75 PMT3 = A + J3 Þ PMT3 = 1.250,00 + 62,50 Þ PMT3 = 1.312,50 PMT4 = A + J4 Þ PMT4 = 1.250,00 + 31,25 Þ PMT4 = 1.281,25 Finalizando a tabela:
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Tela 73 |
| 2
- Fórmulas de Cálculo do SAC
Os valores das variáveis A, SD, J e PMT, também podem ser encontrados mediante a aplicação das seguintes equações genéricas: Cálculo das amortizações
Cálculo do saldo devedor na t-ésima prestação
Cálculo da parcela de juros na t-ésima prestação
Cálculo do valor da prestação na t-ésima prestação
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Tela 74 |
| 2) Uma pessoa realiza um financiamento de R$ 3.000,00 à taxa de juros de 5% ao mês, para ser pago em 5 prestações mensais, com dois meses de carência para o primeiro pagamento. Com base nestas informações calcule a) o valor
das amortizações; Dado que o financiamento possui carência de dois meses, ou seja, não há pagamento de prestações, os juros devidos para estes períodos são incorporados ao capital e o cálculo das prestações se dá sobre o saldo devedor do período anterior ao pagamento da primeira parcela, no exemplo: R$ 3.307,50. Visualizando
na tabela:
Utilizaremos as equações de cálculo direto das variáveis, ao invés de construirmos a tabela passo a passo. a) Cálculo das amortizações:
SD2 = 1.984,50 c) Cálculo dos juros pagos na terceira parcela:
J3 = 99,23 d) Cálculo do valor da quarta parcela:
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Tela 75 |
| 3
- Sistema de Amortização Misto (SAM)
Desenvolvido originalmente para as operações de financiamento do Sistema Financeiro de Habitação – SFH, constitui-se da média aritmética entre o Sistema Francês (SFA) e o Sistema de Amortização Constante (SAC). Para a elaboração do plano de pagamentos, devemos somar os valores obtidos pelo SAF e SAC e dividir o resultado por dois. Exemplo: 1 º Passo: Construir a tabela pelo SFA e pelo SAC, onde: Pelo SFA:
Observação!
O resíduo de -0,01, decorrente do arredondamento das parcelas,
geralmente são abatidos na última prestação.
2º Passo: Dado que o SAM constitui-se na média aritmética do SAF e SAC, se pegarmos cada uma das células das tabelas dos dois sistemas, somarmos e dividirmos por dois encontraremos a tabela do SAM, onde:
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Tela 76 |
| Sistema Americano de Amortização – SAA
Neste sistema a devolução do capital emprestado é efetuada somente ao final da operação (na última parcela) e de uma só vez. Como característica básica, o Sistema Americano de Amortização não prevê amortizações intermediárias. Durante o período do empréstimo, apenas os juros são pagos periodicamente. Exemplo: Construa
o plano de pagamento de um empréstimo no valor de R$ 8.000,00
realizado a uma taxa de juros de 4% ao mês, em quatro parcelas,
sabendo que o sistema de amortização utilizado é
o SAA.
Conforme podemos verificar na tabela acima, durante a vigência da operação o devedor realiza o pagamento periódico apenas dos juros gerados pelo contrato que, no exemplo, é de 4% sobre os R$ 8.000,00. Na última parcela, além dos juros do período (R$ 320,00) é feita a liquidação do principal, no caso R$ 8.000,00, que, somados, irão resultar numa parcela de R$ 8,320,00. |
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Tela 77 |
| 4 - Utilizando o Excel Abrir o Excel e seguir o procedimento A exemplo do SFA, no SAC iremos demonstrar um exemplo de planilha que pode ser utilizada em operações de empréstimo ou financiamento, sem carência e com até doze parcelas. Dada a facilidade de cálculo das operações do SAA, não desenvolveremos planilha para este sistema. Além disso, lembramos que para o SAM deveremos inicialmente construir as tabelas do SFA e do SAC e depois proceder ao cálculo da média aritmética simples para cada variável, a fim de construir a tabela do SAM. 1. Abra uma pasta nova que depois poderá ser arquivada com o nome de Sistema de Amortização Constante PLANILHA DE CÁLCULO DO SAC 2. Na célula
B2 escreva: Sistema de Amortização Constante
9. As fórmulas acima estabelecem as relações lógicas da função. Analisando, por exemplo, a equação da célula F8, teremos: SE
for cumprida a condição lógica B8<=$C$5 (o sinal
$ serve para fixar a célula) 10. Caso
deseje utilizar a função SE diretamente, coloque o cursor
na célula F8 e selecione INSERIR, FUNÇÃO. Efetue a solução dos exercícios resolvidos no capítulo colocando as variáveis do enunciado nos campos “Valor Emprestado”; “Taxa” e “Número de Parcelas”. A figura abaixo representa a planilha construída mediante os procedimentos descritos anteriormente:
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Tela 78 |
| Resumo Abordamos neste módulo mais três sistemas de amortização empregados em operações de empréstimos e financiamentos realizados no mercado: O Sistema de Amortização Constante – caracterizado por possuir a parcela referente à amortização constante durante toda a vigência do contrato. Neste sistema, calculamos primeiramente o valor relativo às amortizações aplicando a equação:
Onde: “PV” é o valor do empréstimo ou financiamento e “n” o número de parcelas. As demais variáveis do plano de pagamento: Saldo devedor (SD), Juros (J) e prestação (PMT) podem ser obtidos mediante o uso das equações aprendidas no módulo anterior que tratou do SFA, ou pelo uso das seguintes fórmulas: Para o cálculo do saldo devedor na t-ésima prestação
Para o cálculo da parcela de juros na t-ésima prestação:
Para o cálculo do valor da t-ésima prestação;
Quanto aos dois últimos sistemas aprendidos: SAM (Sistema de Amortização Misto) e o SAA (Sistema Americano de Amortização), enquanto o primeiro caracteriza-se por ser uma média aritmética dos valores encontrados para o SFA e o SAC, o segundo revela-se pela cobrança apenas dos juros durante todo contrato, sendo o capital pago somente na última parcela. |
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(6), substituindo os valores de “a1”, “an" e “q”
na equação (6) e resolvendo a expressão, teremos:
(7), substituindo-se FPV (i,n) da expressão (7) na fórmula
(10) e resolvendo a equação teremos:
substituindo-se
FPV (i,n) na fórmula (6) e resolvendo a equação teremos:
,
conforme aprendemos no módulo anterior, podemos reescrever a equação
(7) como: 
e 
. No momento em que
aciona-se a tecla g a função CF0,localizada na tecla PV,
é sensibilizada.
.
- Fluxo do primeiro período
. 
)
dos fluxos futuros em valor presente e os iguala a FC0.
