A empresa em questão seria uma indústria de confecção, onde, por decisão da diretoria, foi aprovada uma expansão no parque fabril. Tal decisão irá exigir desembolso de dinheiro por parte da empresa. Muito bem, onde buscar este dinheiro?

Você já sabe, em função de disciplinas anteriores, que uma empresa quando gera lucro líquido no final do exercício social pode, por exemplo, distribuir parte do lucro para os seus acionistas, ficando o restante do lucro na empresa, com isso, o patrimônio líquido da empresa irá experimentar um aumento via reservas de lucros.

Este aumento poderá ser utilizado pela empresa em novos investimentos no seu parque fabril e/ou ser utilizado para atender suas necessidades de giro. Outra maneira de uma empresa buscar dinheiro seria por meio da emissão de novas ações, com isso, o seu patrimônio líquido seria aumentado via capital social. A empresa poderia buscar dinheiro no mercado financeiro, por meio, por exemplo, da captação de empréstimos junto aos bancos e/ou via emissão de dívidas, com isso, o passivo exigível da empresa iria sofrer um aumento.

Observe que todas estas fontes mencionadas irão exigir remuneração por parte da empresa, portanto, todas as projeções, tanto de receitas quanto de custos/despesas operacionais deverão ser cuidadosamente pesquisadas.

Reflita agora sobre uma empresa que opera no segmento de supermercados no Brasil e que tenha feito uma captação em divisa externa, em meados de 1998 pelo prazo de cinco anos, para, com isso, operar uma estratégia agressiva em termos de aumento na participação de mercado. Qual foi o objetivo da captação daquele dinheiro? Alcançar a posição de líder do setor, a partir de 2003. A empresa tem suas receitas quase que integralmente em reais. Considere a posição do diretor financeiro e dos demais diretores executivos que tomaram a decisão de captar os recursos em divisa externa. Qual o comportamento deles, a partir de meados de janeiro de 1999, com a implantação do regime de câmbio flutuante? Como explicar isso para o acionista?

Administração Financeira no Novo Milênio

Segundo Brigham e Ehrhardt (2006) quando a administração financeira surgiu como um campo separado de estudo no início de 1900, a ênfase era sobre os aspectos legais das fusões, a formação de novas empresas e os vários tipos de títulos que as empresas poderiam emitir para levantar capital. Durante a depressão dos anos 30, a ênfase voltou-se para: as falências, reorganização e liquidez das empresas e para a regulamentação dos mercados de títulos.
Durante as décadas de 1940 e 1950, finanças continuaram a ser ensinadas como uma matéria descritiva e institucional, entendida mais do ponto de vista de alguém de fora do que do ponto de vista de um administrador. No entanto, um movimento em direção à análise teórica iniciou-se no final da década de 1950, e o foco mudou para decisões administrativas destinadas a maximizar o valor da empresa.
O enfoque sobre a maximização de valor continua vigente no século XXI. Porém, duas outras tendências têm-se tornado cada vez mais importantes nos últimos anos: 1) a globalização das empresas; e 2) o crescente uso de tecnologia da informação. Essas tendências provêem as empresas com novas e excitantes oportunidades para aumentar a lucratividade e reduzir os riscos. Todavia, esses fatores também conduzem ao aumento da competição e de novos riscos.
Segundo Damodaran (2004), o objetivo das finanças corporativas é a maximização do valor da empresa e do preço das ações. O preço das ações é estabelecido pelos investidores marginais. Para entendermos o preço das ações, faz-se necessário compreender os dois determinantes principais do preço de uma ação: risco e retorno.

O que é risco?

Suponha que você esteja pensando em comprar ações da Vale. Você pretende desembolsar $20.000,00. Admitamos que você tenha uma expectativa sobre este investimento: retorno de 20% para os próximos 365 dias. Muito bem, suponhamos que o período de tempo se passou e que você está conferindo a sua expectativa de retorno.

Suponha que o retorno das ações tenha sido de 15%. O que aconteceu?

O retorno observado foi inferior ao retorno esperado: 15% < 20%.

Mas, suponha que ao invés de 15% o retorno das ações tenha sido de 30%, o que aconteceu?

O retorno observado foi superior ao retorno esperado: 30% > 20%.

Na primeira situação, 15% < 20%, você experimentou risco negativo, enquanto que na 2ª hipótese, 30% > 20%, você experimentou risco positivo. Desse modo, o risco inclui não somente os resultados ruins, isto é, retornos mais baixos do que o esperado, mas também resultados bons, ou seja, retornos mais altos do que o esperado. De fato, podemos nos referir ao primeiro como downside risk e ao segundo como upside risk; porém, consideramos ambos ao medir o risco.

Vamos supor que, ao invés de comprar papéis da Vale, você pensasse em comprar títulos do Tesouro dos Estados Unidos (EUA), logo, você estaria investindo seu dinheiro em papéis considerados livres de risco (sem risco), ou seja, se este tipo de papel estiver prometendo 4,5% ao ano; no final de 365 dias você irá receber os 4,5% prometidos. Observe que, neste tipo de investimento, não existe a surpresa de você ter de experimentar riscos negativos ou riscos positivos.

Você deve estar pensando: por qual motivo foi mencionado títulos do Tesouro dos EUA e não títulos do Tesouro do Brasil?

Respondendo sua indagação: os títulos do Tesouro do Brasil não são considerados livres de risco.

Suponhamos que, para o mesmo prazo de 365 dias, um título do Tesouro do Brasil esteja prometendo pagar 12% ao ano, e que o prêmio cobrado sobre papéis brasileiros seja de 250 pontos. Logo, você terá de dar um desconto de 2,5%, ou seja:

A sua taxa livre de risco seria de 9,5% ao ano e não de 12% ao ano.

O que é retorno?

Segundo Gitman (2004), o retorno é o ganho ou a perda total sofrida por um investimento em certo período de tempo.

Suponha a compra de ações da Vale. Ao comprar a ação, você desembolsa dinheiro. Qual a sua expectativa com este tipo de investimento? Uma ação poderá propiciar entradas de caixa por meio da distribuição de lucros (dividendos), além do ganho/perda de capital, isto é, a comparação entre o preço de compra e o preço da ação em determinada data futura, seja para venda, seja para simples comparação.

No Brasil, além dos dividendos, o investidor em ações pode receber também juros sobre capital próprio.

Ao invés de ações, agora, pense em um táxi. Ao comprar o carro, o taxista normalmente calcula:

Agora, vamos supor a compra de um equipamento (máquina) por uma indústria. Neste caso, é necessário considerar:

• o valor desembolsado no ato da compra;
• a apuração do fluxo de caixa gerado pela máquina durante o seu período de produção;
• o seu valor em determinada data futura, seja para simples avaliação, seja para venda.

Equação para o cálculo do retorno:

Kt = (Pt – Pto + Ct)/Pto

onde:

k_t = taxa observada, esperada ou exigida de retorno durante o período de tempo que vai de “to” até “t”;
P_t = preço (valor) do ativo na data “t” (data final);
P_to = preço (valor) do ativo na data “t_o” (data inicial);
C_t = fluxo de caixa gerado pelo ativo no período que vai de “t_o” até “t”.

O retorno K_t, irá refletir o efeito combinado entre o valor inicial, o fluxo de caixa e valor final durante certo período de tempo que poderá ser: um dia, uma semana, uma quinzena, um mês, um trimestre, um semestre, um ano etc.

Exemplos

2) No ano passado, você comprou 500 ações da JJ à $40 por unidade. Suponha você recebeu dividendos no total de $1.100. Atualmente, a ação está cotada a $42. Calcule o retorno desse investimento. Suponha que ao comprar o papel você tenha estimado um retorno de 10%, o que você experimentou?

Resolução:

Nesse exemplo nós temos:
P_to = $40 ou $40 x 500 = $20.000
P_t = $42 ou $42 x 500 = $21.000
C_t = $1.100 ou $1.100/500 = $2,2 por ação

Podemos calcular o retorno de duas maneiras:

a) Considerando o preço por ação

k_t = [($42 – $40 + $2,2)/$40] x 100
k_t = 10,5%

b) Considerando preço x quantidade de ações

k_t = [($21.000 – $20.000 + $1.100)/$20.000] x 100
k_t = 10,5%
c) Como o retorno de 10,5% é maior que o retorno projetado você experimentou risco positivo.

3) O Sr Y, um analista financeiro da Empresa KY, deseja estimar a taxa de retorno para dois investimentos de riscos similares: A e B. A pesquisa do Sr Y indica que os retornos imediatamente anteriores atuarão como estimativa razoável dos retornos futuros. No ano anterior, o investimento A teve um valor de mercado de $600.000,00 e o investimento B, de $1.500.000,00. Durante o ano, o investimento A gerou um fluxo de caixa de $250.000,00 e, o investimento B gerou um fluxo de caixa de $280.000,00. Os valores atuais de mercado do investimento A e B são $400.000,00 e $1.300.000,00, respectivamente.

a) Calcule a taxa de retorno esperado sobre os investimentos A e B, usando os dados do ano mais recente.

b) Supondo que os dois investimentos sejam igualmente arriscados, qual deles o Sr Y deveria recomendar? Por quê?

Resolução:

a) Retorno para os investimentos

Ativo A:
k_t = [($400.000 – $600.000 + $250.000)/$600.000] x 100
k_t = 8,33%

Ativo B:
k_t = [($1.300.000 – $1.500.000 + $280.000)/$1.500.000] x 100
k_t = 5,33%

b) Recomendaria o Investimento A, porque, por terem riscos semelhantes, deveria ser recomendado o investimento que apresenta o maior retorno.

4) Suponha que você compre 50 unidades de uma ação por $10.000. A empresa, emissora do papel, não irá distribuir dividendos, mas no final de um ano você poderá vender suas ações por $11.000. Qual é o retorno em seu investimento de $10.000?

Resolução:

Nesse exemplo observamos que a empresa não pagou dividendo, portanto, o valor do fluxo de caixa será igual a $0.
k_t = [($11.000 – $10.000 + $0)/$10.000] x 100
k_t = 10%

5) A tabela a seguir apresenta o preço das ações da Microsoft entre os anos 1989 e 1998. A companhia não pagou dividendos durante o período.

a) Calcule o retorno acumulado no período?
b) Calcule o retorno médio efetivo anual?

Resolução

a) Retorno no período 1989/1998
Nesse exemplo nós temos mais uma vez o não pagamento de dividendos, portanto, não ocorreu a geração de fluxo de caixa para o acionista.
k_t = [($69,34 – $1,20 + $0)/$1,20] x 100
k_t = 5.678,33%

b) Retorno médio anual:
Como estamos diante de uma taxa efetiva, devemos operar com base no regime de juros compostos, portanto, o retorno médio anual foi de:
k_t = [( 1 + i)^1/(n-1) -1]x100
k_t = [(1 + 5.678,33/100)^1/(10-1)-1]x 100
k_t = 56,95% ao ano.

a) Se o Sr. J fosse um administrador financeiro com tendência ao risco, que investimentos ele selecionaria? Explique por quê?

Solução

2) Você é um administrador financeiro e deseja avaliar três perspectivas de investimentos: A, B e C. Atualmente, a empresa obtém 13% sobre seus investimentos, os quais têm um índice de risco de 5%. Os três investimentos que estão sendo considerados estão resumidos abaixo, em termos de retorno e do risco esperado.

a) Se você fosse indiferente ao risco, quais investimentos você selecionaria?

Resolução

b) Se você fosse tendente ao risco, quais investimentos você selecionaria?

Resolução


c) Se você fosse avesso ao risco, quais investimentos você selecionaria?

Resolução

3) Um administrador financeiro deseja avaliar três perspectivas de investimentos: M, N e O. Atualmente, a empresa obtém 20% sobre suas aplicações, com um índice de risco de 3%. Os três investimentos que estão sendo considerados estão resumidos abaixo, em termos de retorno e do risco esperado.

5) Um administrador financeiro deseja avaliar três perspectivas de investimentos: F, G e H. Atualmente, a empresa obtém 11,75% em suas aplicações, com um índice de risco de 3%. Os três investimentos que estão sendo considerados estão resumidos abaixo, em termos de retorno e do risco esperado.

Com base na preferência pelo risco, que tipo de administrador financeiro irá operar estes ativos?

Resolução

3 - Aversão ao risco: o investidor

O investidor avesso ao risco não participa de um negócio pelo prazer do risco, como faz o jogador, mas sim, porque vislumbra um prêmio de risco adequado.

Existem investidores com diferentes graus de aversão ao risco; uns com maior, outros com menor disposição para correr risco. Por esse motivo, quando ocorrem grandes turbulências nos mercados, seja na economia real, seja nos mercados financeiros, é comum a expressão: a aversão ao risco aumentou.

A corrida por papéis livres de risco naqueles momentos de pânico costuma aumentar. Por que isto acontece? Diante do aumento da incerteza, o melhor refúgio são os papéis livres de risco, ou seja, é preferível ganhar 3% ao ano em ativos livres de risco, a se expor em ativos com risco e se sujeitar a perder muito dinheiro.

No mercado, quanto maior a aversão ao risco, maior será o prêmio cobrado pelo investidor, logo, maior a diferença entre a taxa de juros dos ativos considerados livres de risco para os ativos com risco. Como exemplo, podemos mencionar a desconfiança criada a partir de março/abril de 2002, no Brasil, na ocasião da eleição do presidente Luiz Inácio Lula da Silva.

Na medida em que Lula avançava nas pesquisas eleitorais, mais o risco país crescia, passando de 700 pontos em abril de 2002 para 2400 pontos em novembro/dezembro de 2002. Os investidores, temerosos das promessas antigas do Sr. Lula da Silva, chegaram a exigir um prêmio pelo risco Brasil de 24% ao ano.

Por outro lado, na medida em que a aversão ao risco diminui, maior exposição ao risco ocorre por parte do investidor. A história das bolhas especulativas tem mostrado justamente isso. A busca por ganhos maiores parece que escurece a visão do investidor, a guarda vai se abrindo e, quando menos se espera, a bolha arrebenta, e lá se vai pelo ralo o rico dinheirinho apurado durante a vida toda.

Exemplos

1) No dia 22/01/2008, o Jornal Valor Econômico publicou:

Partindo da hipótese de que predomina a aversão ao risco, qual o comportamento dos investidores em momentos como os do dia 21/01/2008?

Resposta

Segundo Brigham e Ehrhardt (2006), o risco de um ativo pode ser analisado de duas formas:

1) em uma base isolada, em que o ativo é considerado isoladamente, e
2) em uma base de carteira, na qual ele é mantido como um dos vários ativos em uma carteira.

Assim, o risco isolado de um ativo é o risco em que um investidor incorre caso mantenha apenas esse único ativo. Obviamente, a maioria dos ativos é mantida em carteiras, mas é necessário entender o risco isolado de forma a compreender o risco em um contexto de carteira, pois o ativo que tem um alto grau de risco, quando mantido sozinho, pode apresentar muito menor grau de risco se for mantido como parte de uma carteira com vários ativos.

Nenhum investimento será empreendido, a menos que a taxa de retorno esperada seja suficientemente alta para compensar o investidor pelo risco percebido no investimento.
Estudaremos, neste curso, o risco de um ativo isolado de duas maneiras:

a) pelo uso da análise de sensibilidade,
b) pelo uso das distribuições de probabilidade.

5 - Análise de sensibilidade

Segundo Gitman (2004), a análise de sensibilidade ou análise de cenários recorre a diversas estimativas dos retornos possíveis para oferecer uma noção da variabilidade dos resultados. Um método comum consiste em fazer estimativas pessimistas (pior), mais provável (esperada) e otimista (melhor) dos retornos associados a um ativo. Nesse caso, o risco do ativo pode ser medido pela amplitude dos retornos. A amplitude é encontrada subtraindo-se o resultado pessimista do resultado otimista. Quanto maior ela for, maior será a variabilidade, ou seja, o risco do ativo.

Exemplo

1) Um investidor está tentando escolher a melhor entre duas alternativas de investimentos: a ação do Banco A e a ação do Banco B, cada uma exigindo desembolso inicial de recursos de $5.000. O quadro a seguir apresenta a análise de risco dos dois papéis.

a) Determine a faixa de taxas de retorno para cada um dos dois investimentos.

Solução

Segundo Gitman (2004), as distribuições de probabilidades oferecem uma visão mais quantitativa do risco de um ativo. A probabilidade de um evento é a chance de ele ocorrer.

Um evento com 70% de probabilidade de ocorrência poderá acontecer sete vezes em cada dez vezes; um evento com probabilidade de 100% ocorrerá com certeza. Eventos com probabilidade igual a zero nunca ocorrem.

Uma distribuição de probabilidades é um modelo que associa probabilidades aos eventos correspondentes. O tipo mais simples é o gráfico de barras, que mostra somente um número limitado de combinações entre eventos e probabilidades.

Exemplo

7 - Mensuração de risco

Suponhamos que o administrador financeiro da Empresa JJ esteja interessado em analisar o desempenho histórico de um par de ativos: a ação da Empresa A e a ação da Empresa B. A Empresa JJ dispõe de uma folga no seu fluxo de caixa no valor de $100,00 para os próximos 90 dias e o administrador financeiro pretende aplicar a sobra de caixa numa destas duas ações.

O administrador financeiro utilizará instrumentos de medidas fornecidos pela estatística para atender ao seu objetivo de escolha de uma das duas ações.

Para dimensionar o retorno numa carteira com apenas um ativo (ativo isolado), será utilizada a medida de tendência central, média, que irá medir o retorno médio do ativo.

Para a mensuração do risco, serão utilizadas três estatísticas medidoras de risco:

• a variância,
• o desvio-padrão e
• o coeficiente de variação.

Todas essas medidas são conceitos estudados em Estatística.

A média de um conjunto de dados históricos é a soma das entradas de dados históricos dividida pelo número de entradas. Diante de dados estimados (futuros) e com a mesma probabilidade de ocorrência para cada um dos dados, o mesmo processo de cálculo será aplicado. Porém, diante de uma distribuição de probabilidade com chances diferentes de ocorrência para cada um dos dados, a média será apurada com base no somatório do produto de cada dado pela sua respectiva chance de ocorrência.

Neste curso, o retorno médio de um ativo será representado da seguinte maneira:

a) diante de dados históricos - taxa de retorno observada:

, lê-se: “ -Barra”

b) diante de dados estimados (esperados) - taxa de retorno esperada:

, lê-se: “ -chapéu”

A variância, assim como o desvio-padrão têm por objetivo medir estatisticamente a variabilidade (grau de dispersão) dos retornos histórico/estimado de um ativo. Tanto a variância quanto o desvio-padrão não poderão apresentar valores negativos. Os valores serão expressos em porcentagem, sendo o menor valor para estas duas estatísticas medidoras de risco igual a 0%.

A variância possui uma desvantagem, seus valores são expressos ao quadrado, com isso, sua interpretação torna-se difícil.

A variância é apresentada pela letra grega minúscula sigma ao quadrado:

O desvio-padrão é apresentado pela letra grega minúscula sigma:

Enquanto a variância e o desvio-padrão medem o grau de dispersão absoluta dos valores em torno da média (retorno médio), o coeficiente de variação indica a dispersão relativa, ou seja, o risco por unidade de retorno observado/esperado.

Neste curso, o símbolo do coeficiente de variação será: CV.

Na medida em que os exercícios forem desenvolvidos, iremos apresentar as fórmulas para cada uma das estatísticas utilizadas.

Exemplos

1) O administrador financeiro da empresa JJ dispõe de $100,00 para aplicar no mercado financeiro. O investimento será na Ação A ou na Ação B. Nos últimos cinco anos, os dois papéis renderam:

Pede-se:

a) calcule o retorno médio observado para cada uma das ações;
b) calcule a variância dos retornos observados para cada uma das ações;
c) calcule o desvio-padrão dos retornos observados para cada uma das ações;
d) calcule o coeficiente de variação para cada uma das ações;
e) supondo que predomina a aversão ao risco qual ação seria escolhida pelo financeiro da Empresa JJ para a carteira com um ativo isolado?

Solução

a) Retorno médio observado (dado histórico).
Fórmula:

Onde:
= retorno médio observado;
= somatório. Letra grega: sigma maiúsculo;
k_i = retornos históricos observados;
n = número de observações.
_A = (20 -10 + 0 + 35 + 20)/5

_A = 13%

_B= (35 + 40 + 0 - 10 + 10)/5

_B = 15%

Qual deve ser a preocupação diante de um retorno médio? Devemos nos preocupar com a consistência do retorno médio.

É fácil ou não alcançar os 13% no caso da Ação A e os 15% no caso da Ação B? Quanto mais próximo do retorno médio estiverem os retornos observados que lhe deram origem, menor será a dispersão em torno do retorno médio e menor será o risco do ativo. Quanto mais dispersos do retorno médio estiverem os retornos observados que lhe deram origem, maior será o risco, pois, mais difícil será o alcance daquele retorno médio observado. Para sabermos a dispersão em torno do retorno médio, a estatística nos fornece estatísticas medidoras de risco.

b) Variância dos retornos observados:
Fórmula:

= (ki – )2/(n-1)

Onde:
= símbolo para o cálculo da variância. Letra grega sigma minúsculo;
= somatório. Letra grega: sigma maiúsculo;
k_i = retornos históricos observados;
= retorno médio observado;
(n- 1) = para dados históricos, em finanças dividimos pelo número de observações menos 1.

Variância dos retornos observados da Ação A:
= [(20/100 – 13/100 )² + (-10/100 – 13/100 )² + (0/100 – 13/100 )² + (35/100 – 13/100 )² + (20/100 – 13/100)²]/(5 -1)
= 0,032

Variância dos retornos observados da Ação B:
= [(35/100 – 15/100 )² + (40/100 – 15/100 )² + (0/100 – 15/100 )² + (-10/100 – 15/100 )² + (10/100 – 15/100 )²]/(5 -1)
= 0,0475

Percebemos que, no cálculo de cada uma das dispersões, a diferença está ao quadrado, portanto, não há como encontrarmos valores negativos no cálculo da variância. Por serem quadráticos, é difícil a interpretação da variância em relação ao retorno médio observado, já que este não está na mesma base da variância. Com base na variância, percebemos que o ativo mais arriscado é a Ação B, porque apresenta a maior variância.

c) Desvio-padrão dos retornos observados:
Fórmula:

=(ki – )2/(n-1)

Em relação à fórmula da variância, a diferença está na raiz quadrada. Portanto, o desvio-padrão dos retornos esperados é igual à raiz quadrada da variância, assim como a variância é igual ao desvio-padrão ao quadrado.

Desvio-padrão dos retornos observados da Ação A
= [(20 – 13)² + (-10 – 13)² + (0 – 13)² + (35 – 13)² + (20 – 13)2]/(5 -1)
= 17,89%

Desvio-padrão dos retornos observados da Ação B:
= [(35 – 15)² + (40 – 15)² + (0 – 15)² + (-10 – 15)² + (10 – 15)²]/(5 -1)
= 21,79%

O desvio-padrão é a medida de quanto um retorno observado se desvia do retorno médio observado. Quanto mais espalhados estiverem os retornos observados, maior será o desvio-padrão, maior será a dispersão dos retornos, mais o retorno verdadeiro tende a ser diferente do retorno médio. Neste exemplo, o ativo mais arriscado com base no desvio-padrão é o Ativo B, que apresenta o maior desvio-padrão.

d) Coeficiente de variação
Fórmula:

CV = /

CV_A = 17,89/13

CV_A = 1,38 ou 1,38 x 100 = 138%

Ação B

CV_B = 21,79/15

CV_B = 1,45 ou 1,45 x 100 = 145%

Percebemos que a Ação B é: 1,45/1,38 = 1,05 vez mais arriscada do que a Ação A, com base no coeficiente de variação. O coeficiente de variação mostra o risco por unidade de retorno e oferece uma base mais confiável para comparação, quando os retornos esperados nas duas alternativas não são iguais.

e) Percebemos que a Ação B é mais arriscada do que a Ação A porque apresenta a maior variância entre os retornos observados, o maior desvio-padrão entre os retornos observados e o maior coeficiente de variação, como predomina a aversão ao risco, a escolha do ativo dependerá do grau de aversão ao risco do administrador financeiro da Empresa JJ.

Supondo que o administrador financeiro tenha uma maior aversão ao risco, ele escolherá a Ação A para aplicar os $100,00, por ser o ativo menos arriscado: apresenta o menor risco e o menor retorno médio observado.

Supondo que o administrador financeiro tenha uma menor aversão ao risco, ele escolherá a Ação B para aplicar os $100,00, por ser o ativo mais arriscado e apresentar retorno médio observado maior.

a) Retorno médio esperado (estimado)

Fórmula para o retorno médio esperado

_C = (-5+45+20-5+40)/5

_C = 19%

_D = (10+40-10+25+20)/5

_D = 17%

b) Variância dos retornos esperados

Fórmula da variância dos retornos esperados

= (ki – )2/n

Variância dos retornos esperados do Ativo C
= [(-5/100 -19/100)² + (45/100 -19/100)² + (20/100 -19/100)² +(-5/100 -19/100)² +(40/100 -19/100)²]/5
= 0,0454
Variância dos retornos esperados do Ativo D
= {[(10 -17)² + (40 -17)² + (-10 -17)² +(25 -17)² +(20 -17)²]/5}/10.000
= 0,0276

c) Desvio-padrão dos retornos esperados (estimados)
Fórmula do desvio-padrão dos retornos esperados (estimados)

=(ki – )2/ n

Desvio-padrão dos retornos esperados do Ativo C
=[(-5 -19)² + (45 -19)² + (20 -19)² +(-5 -19)² +(40 -19)²]/5
= 21,31%

Desvio-padrão dos retornos esperados do Ativo D
= [(10 -17)²+ (40 -17)² + (-10 -17)² +(25 -17)² +(20 -17)²]/5
= 16,61%

d) Coeficiente de variação
CV_C = 21,31/19

CV_C = 1,12 ou 1,12 x 100 = 112%

CV_D = 16,61/17

CV_D = 0,98 ou 0,98 x 100 = 98%

Com base no coeficiente de variação, o Ativo C seria: 1,12/0,98 = 1,14 vez mais arriscado do que o Ativo D.

e) Percebemos que o Ativo C é mais arriscado do que o Ativo D porque apresenta a maior variância entre os retornos estimados, o maior desvio-padrão entre os retornos estimados e o maior coeficiente de variação. Como predomina a aversão ao risco, a escolha do ativo dependerá do grau de aversão ao risco do administrador financeiro da Empresa XYZ.

Supondo que o administrador financeiro tenha uma maior aversão ao risco, ele escolherá o Ativo D para aplicar os $100,00, por ser o ativo menos arriscado: apresenta o menor risco e o menor retorno médio estimado.

Supondo que o administrador financeiro tenha uma menor aversão ao risco, ele escolherá o Ativo C para aplicar os $100,00, por ser o ativo mais arriscado e apresentar o retorno médio esperado maior.

Logo, investidores com maior aversão ao risco procurarão ativos menos arriscados, porém, terão de se contentar com retornos menores. Por sua vez, investidores com menor aversão ao risco estarão dispostos a correr riscos maiores, desde que os ativos sinalizem retornos maiores.

3) O administrador financeiro da empresa Alfa dispõe de $100,00 para aplicar no mercado financeiro. O investimento será na Ação A ou na Ação B. O financeiro está estimando as seguintes ocorrências:

Pede-se:

a) calcule o retorno médio observado para cada uma das ações;
b) calcule a variância dos retornos observados para cada uma das ações;
c) calcule o desvio-padrão dos retornos observados para cada uma das ações;
d) calcule o coeficiente de variação para cada uma das ações;
e) supondo que predomine a aversão ao risco, qual ação seria escolhida pelo financeiro da Empresa JJ para a carteira com um ativo isolado?

Solução

4) Suponha dois ativos, A e B, onde observamos:

Ativo A A = 17%    CVA = 0,55

Ativo B B = 25,5%   CVB = 0,25

O Sr. J é um operador da Corretora de Títulos e Valores Mobiliários XYZ. O Sr. M é um cliente da Corretora XYZ e confia muito nas dicas do Sr. J para suas aplicações financeiras. O Sr M deixa os cálculos sempre por conta do Sr J, logo, o que o Sr J sugere, imediatamente o Sr M acata.

O Sr M está disposto a fazer uma aplicação no valor de $50.000,00 numa carteira com um ativo isolado. Suponhamos que predomine a aversão ao risco e que o Sr M seja daquele tipo de investidor que aceita correr risco desde que, quanto maior o risco, maior o retorno exigido. A seguir, duas situações em que o Sr M poderia estar exposto.

a) Suponhamos que o Sr J (operador) esteja olhando os seus interesses e não os do Sr M, sendo que, para o Sr J, é muito importante a negociação da ação A. Seria possível ele indicar a Ação A?

Solução

b) Suponhamos que a Corretora XYZ esteja olhando os seus interesses e não os do Sr M, sendo que, para a corretora, seria muito importante a compra da Ação A. Seria possível o Sr J indicar a Ação A?

Solução

a) Retorno médio esperado (estimado)
Fórmula:

=i x Pri

Onde:
= retorno médio esperado (estimado);
_i = retorno esperado (estimado);
P_ri = Probabilidade de ocorrência.

_A = (-10 x 0,20) + (20 x 0,60) + (35 x 0,20)

_A= 17%

_B = (12 x 0,20) + (15 x 0,60) + (10 x 0,20)

_B = 13,40%

b) Variância dos retornos esperados
Fórmula:

=(i-)2 x Pri

Ativo A:
= [(-10 – 17)² x 0,20 + (20 – 17)² x 0,60 + (35 – 17)² x 0,20]/10.000
= 0,0216

Ativo B
= [(12 – 13,4)² x 0,20 + (15 – 13,4)² x 0,60 + (10 – 13,4)² x 0,20]/10.000
= 0,000424

c) Desvio-padrão dos retornos esperados
Fórmula:

=(i– )2 x Pri

Ativo A:
= (-10 – 17)² x 0,20 + (20 – 17)² x 0,60 + (35 – 17)² x 0,20
= 14,70%

Ativo B
= (12 – 13,4)² x 0,20 + (15 – 13,4)² x 0,60 + (10 – 13,4)² x 0,20
= 2,06%

d) Coeficiente de variação
CV_A = 14,70/17

CV_A = 0,86 ou 0,86 x 100 = 86%

CV_B = 2,06/13,4

CV_B = 0,15 ou 0,15 x 100 = 15%

Com base no coeficiente de variação, o Ativo A seria: 0,86/0,15 = 5,73 vezes mais arriscado do que o Ativo B.

e) Percebemos que o Ativo A é mais arriscado do que o Ativo B porque apresenta a maior variância entre os retornos estimados, o maior desvio-padrão entre os retornos estimados e o maior coeficiente de variação. Como predomina a aversão ao risco, a escolha do ativo dependerá do grau de aversão ao risco do administrador financeiro da Empresa Alfa.

Supondo que o administrador financeiro tenha uma maior aversão ao risco, ele escolherá o Ativo B para aplicar os $100,00, por ser o ativo menos arriscado: ele está disposto a correr menos risco, por este motivo, aceitará um retorno menor.

Supondo que o administrador financeiro tenha uma menor aversão ao risco, ele escolherá o Ativo A para aplicar os $100,00. Ele está disposto a correr risco maior, no entanto, exigirá um retorno maior.

Logo, investidores com maior aversão ao risco procurarão ativos menos arriscados, porém, terão de se contentar com retornos menores; por sua vez, investidores com menor aversão ao risco estarão dispostos a correr riscos maiores, desde que os ativos sinalizem retornos maiores.

Neste exemplo, percebemos que o somatório das probabilidades (chances de ocorrência do evento) alcançou 100%. Você observou que, tanto no cálculo do retorno médio quanto no da variância e do desvio-padrão, multiplicamos sempre pela respectiva chance de ocorrência e, como nos dois exemplos anteriores, não operamos a divisão pelo número de observações.

Nos três exemplos apresentados, a escolha do ativo, em momento algum, se limitou exclusivamente ao ativo menos arriscado; sempre esteve em função do grau de aversão ao risco do administrador/investidor.

5) Suponhamos dois ativos, A e B, que apresentam as seguintes informações:

Ativo A A = 20%    CVA = 0,60

Ativo B B = 30%   CVB = 0,90

Calcule o valor do desvio-padrão e o valor da variância de cada um dos ativos. Supondo que predomine a aversão ao risco, para uma carteira com apenas um ativo isolado, um investidor com $100.000,00 irá investir em qual dos dois ativos?

Solução

6) Suponhamos dois ativos, A e B, que apresentam as seguintes informações:

Ativo A A = 15%    CVA = 0,75

Ativo B B = 22,5%   CVB = 0,40

Calcule o valor do desvio-padrão e o valor da variância de cada um dos ativos. Supondo que predomine a aversão ao risco, para uma carteira com apenas um ativo isolado, um investidor com $100.000,00 irá investir em qual dos dois ativos?

Solução

7) Determinar a faixa para a taxa de retorno e o valor do retorno esperado, Ke, para os ativos A e B, conforme quadro a seguir.

Solução:

Faixa do Ativo A: 22% – 10% = 12%
Faixa do Ativo B: 24% - 8% = 16%
Ativo A: k_e=[(0,25 x 0,10)+(0,50 x 0,l7)+(0,25 x 0,22)] x 100
K_e = 16,5%
Ativo B: ke =[(0,25 x 0,08) + (0,50 x 0,l7) + (0,25 x 0,24)] x 100
K_e = 16,5%

Observa-se que os dois Ativos operam com o mesmo retorno; porém o Ativo A opera com faixa ou amplitude menor. Logo, o Ativo B é o mais arriscado.

8) Calcular o valor dos desvios-padr�o dos ativos A e B.

Observa-se que o Ativo A apresentou desvio-padrão de 4,272%, enquanto o Ativo B, de 5,6789%. Logo, com base no desvio padrão, o Ativo que apresenta maior risco é o Ativo B, pois, opera com maior desvio-padrão.

11) Suponhamos que voc� tenha aplicado em apenas duas a��es, X e Y. Voc� acha que os retornos das a��es dependem das probabilidades a seguir:

a) Calcule a taxa esperada de retorno, K_e, para as ações X e Y;
b) Calcule o desvio-padrão dos retornos esperados para as Ações X e Y.
c) Calcule o coeficiente de variação para X e Y.
d) É possível que a maior parte dos investidores possa olhar a Ação Y como sendo menos arriscada do que a Ação X? Explique.

Resolução

k_e = Σ (-0,35 x 0,1) + (0 x 0,2) + (0,20 x 0,4) + (0,25 x 0,2) + (0,45 x 0,1)

k_e = 14%

b) Ação X

σ = Σ(-0,10 – 0,12)² x 0,1 + (0,02 – 0,12)² x 0,2 + (0,12 - 0,12)² x 0,4 + (0,20 – 0,12)² x 0,2 + (0,38 – 0,l2)² x 0,1
σ = 12,20%
Ação Y

σ = Σ(-0,35 – 0,14)² x 0,1+ (0 – 0,14)²x 0,2 + (0,20 – 0,14)²x 0,4 + (0,25 – 0,14)² x

x 0,2 + (0,45 – 0,14)² x 0,1
σ = 20,35%

c) Ação X
cv = 0,1220/0,12
cv = 1,017
Ação Y
cv = 0,2035/0,14
cv = 1,454

d) Resposta:
Não, não é possível, pois, tanto o desvio-padrão quanto o coeficiente de variação da Ação Y são maiores do que os da Ação X. Com base no coeficiente de variação a ação Y é 1,43 vez mais arriscada.

13) O mercado e a ação J têm as seguintes distribuições de probabilidade:

a) Calcule as taxas de retorno esperadas para o mercado e para a Ação J
b) Calcule os desvio-padrão para o mercado e para a Ação J
c) Calcule os coeficientes de variação para o mercado e para a Ação J.

Solução

15) Suponhamos que você tenha aplicado em apenas duas ações, A e B. Você acha que os retornos das ações dependem dos três estados seguintes da economia, que têm probabilidades iguais de ocorrência:

Calcule o retorno esperado de cada ação a variância e o desvio-padrão dos retornos de cada ação.

Solução

Solução

Resumo

Todo administrador financeiro opera com o intuito de maximizar o preço da ação nas organizações. Todo administrador financeiro deve aprender a avaliar os dois determinantes principais do preço da ação: o risco e o retorno.

O risco pode ser definido como a probabilidade de que algum evento desfavorável venha a ocorrer. O retorno mede o desempenho financeiro de um investimento durante determinado período de tempo.

Com relação ao comportamento do administrador financeiro, com relação ao risco, predomina o avesso ao risco. Ele deve ser compensado por operar ativos com risco. Logo, à medida que aumenta o risco, aumenta a exigência de retorno.

Pela da análise de sensibilidade, o investidor opera na forma de estimativas de retornos otimistas, mais prováveis e pessimistas. Neste tipo de análise, o risco pode ser medido através de uma faixa ou amplitude. Quanto maior a faixa ou a amplitude, maior será a variabilidade ou risco.

Outra maneira de se avaliar o risco seria por meio da análise quantitativa, isto é, pelo emprego de probabilidades, distribuição probabilística, desvio padrão e coeficiente de variação.

1 - Carteira com dois ativos diferentes

Pense em um investidor que dispõe de $100.000,00. Este investidor poderia utilizar esta sobra de caixa para aplicar, por exemplo, em títulos do Tesouro dos Estados Unidos, com prazo de vencimento de 12 meses. Neste caso, o investidor estaria aplicando todo o seu dinheiro numa carteira com apenas um ativo, além de ser um investidor que apresenta forte aversão ao risco, pois, prefere papéis considerados livres de risco.

Agora vamos pensar num investidor com menor aversão ao risco e que tenha suas sobras de caixa aplicadas numa carteira (portfólio) com dois papéis (títulos) diferentes, por exemplo: 40% em ações da Gerdau S.A. e 60% num Fundo de Renda Fixa. Este segundo tipo de investidor já não está mais concentrando toda a sua sobra de caixa num único ativo; ele já está diversificando os seus investimentos.

Você deve estar pensando: não seria mais interessante o investidor colocar suas sobras de caixa numa carteira com mais de dois ativos diferentes? Sim, seria. Quanto mais diversificada for uma carteira, melhor, pois menor tende a ser o risco.

2 – Retornos de carteira

Segundo Brigham e Ehrhardt (2006), o retorno esperado de uma carteira, _p, é simplesmente a média ponderada dos retornos esperados dos títulos individuais da carteira, sendo os pesos a fração do total da carteira investida em cada ativo.

Fórmula:

P = w11+ w22 +........+wnn = wii

Onde:

_p = retorno esperado da carteira
W_i = peso do ativo n a carteira
_i = retornos esperados dos ativos individuais que compõem a carteira

Exemplos

1) Suponhamos que um investidor disponha de $100.000 para aplicar numa carteira com dois ativos diferentes. No Ativo A o investidor irá aplicar $30.000, enquanto no Ativo B ele irá investir o resto do dinheiro. Para o Ativo A, o investidor estima um retorno de 15%; para o Ativo B, o retorno estimado é de 23%. Calcule o peso de cada ativo e o retorno esperado desta carteira.

Solução 1

2) Suponhamos que um investidor disponha de $100.000,00, aplicados numa carteira de ações composta por cinco papéis diferentes. Os retornos esperados para os cinco papéis, para os próximos doze meses, estão listados a seguir e foram estimados pelo analista de investimento da Corretora XZY. Calcule o retorno esperado para essa carteira.

Empresa	Retorno esperado i	Valor aplicado
Petrobras	30%	$20.000
Embraer	10%	$15.000
Pão de Açúcar	9%	$13.000
Vale	25%	$20.000
Weg	19%	$32.000

Solução 2

3 – Risco de carteira

Segundo Brigham e Ehrhardt (2006), diferentemente dos retornos esperados, o risco de uma carteira medido pelo desvio-padrão, _P, geralmente não é a média ponderada dos desvios-padrão dos ativos individuais; o desvio-padrão da carteira será menor do que a média ponderada dos desvios padrão dos ativos que compõem a carteira.

De fato, é teoricamente possível combinar ações muito arriscadas individualmente quando medidas por seus desvios-padrão, e formar uma carteira completamente livre de risco, _P = 0.

Como reduzir ao mínimo o risco numa carteira?

Segundo Gitman (2004), o conceito estatístico de correlação - base do processo de diversificação – é usado para desenvolver uma carteira eficiente de ativos.

Como sabemos, correlação é a verificação da existência do grau de relação entre variáveis. Logo, a correlação entre duas variáveis indica a maneira como os seus retornos se movem em conjunto.

A quantificação desse relacionamento é obtida, estatisticamente, por meio do coeficiente de correlação linear, r_X,Y, que pode variar dentro do seguinte intervalo fechado: (–1,0 < r_X,Y< 1,0).

Segundo Assaf Neto (2005), quando o coeficiente de correlação for igual a r_X,Y = -1,0, diz-se que os retornos dos ativos em estudo estão negativamente (inversamente) correlacionados, isto é, quando o retorno do ativo Y diminui, o retorno do ativo X tende a elevar-se.

Quanto mais próximo de –1,0 ficar o coeficiente de correlação linear, mais negativa será a correlação entre os dois ativos; atinge a posição perfeitamente negativa (inversa) quando o coeficiente de correlação for exatamente igual a r_X,Y = -1,0.

Por sua vez, quando o coeficiente de correlação linear for exatamente igual a r_X,Y = 1,0 conclui-se que os retornos dos ativos em estudo apresentam-se perfeitamente (ou diretamente) correlacionados. Isto é, os retornos de Y serão acompanhados por alterações paralelas e, no mesmo sentido, pelos retornos de X.

Podem ser encontrados, ainda, retornos que se comportam de maneira totalmente independentes entre si. Ou seja, não há relação alguma entre os valores, o que permite sejam definidos como não correlacionados. O coeficiente de correlação, no caso, é igual a zero, r_X,Y = 0.

Segundo Ross, Westerfield e Jaffe (2002) toda vez que o coeficiente de correlação linear entre os retornos de um par de ativos for menor que r_X,Y < 1,0, o desvio-padrão do retorno de uma carteira de dois títulos será menor do que a média ponderada dos desvios padrão dos retornos dos títulos individuais. Qual a implicação disso? Implica a redução do risco total da carteira, ou seja, será preferível uma carteira com dois ativos a uma carteira com apenas um ativo isolado.

O que irá acontecer se o coeficiente de correlação linear for igual a r_X,Y = 1,0? Neste caso, o desvio-padrão dos retornos da carteira com dois ativos, para qualquer composição de carteira entre esses dois ativos, será sempre igual à média ponderada dos desvios-padrão dos retornos dos títulos individuais, assim, sejam investimentos em carteiras com dois ativos diferentes ou em carteiras com apenas um ativo isolado, o risco total da carteira não será reduzido.

A variância e o desvio-padrão medem a variabilidade de títulos individuais. Quando se deseja medir a relação entre a taxa de retorno de dois ativos diferentes, torna-se interessante o emprego de uma medida estatística que meça a associação entre estes dois ativos. É aqui que entram em cena a covariância e o coeficiente de correlação linear.

A covariância é uma estatística que mede a associação entre os retornos de dois ativos. Ela é medida em quadrados de diferenças, tal como a variância.

Fórmula da covariância:

Ou

Ou

Onde:
O símbolo é a letra grega maiúscula sigma, que indica soma dos produtos de todos os desvios ou desde i=1 até i=n.
X_i = retorno observado ou esperado do ativo X
Y_i = retorno observado ou esperado do ativo Y
= retorno médio observado do ativo X
= retorno médio esperado do ativo X
= retorno médio observado do ativo Y
= retorno médio esperado do ativo Y
n = número de observações

A covariância poderá apresentar valores positivos, negativos ou iguais a zero.

Fórmula do coeficiente de correlação linear:

rX,Y = CovX,Y/(x . y)

Pela fórmula do coeficiente de correlação linear, percebemos que o sinal do coeficiente será sempre determinado pelo sinal da covariância, já que o desvio-padrão não pode ser negativo.

Exemplos

1) Você está pensando em estruturar uma carteira contendo dois ativos, X e Y. Ambos irão representar 50% da carteira. Os retornos observados dos dois ativos estão resumidos na seguinte tabela.

a) Calcule o retorno para o Ativo X e para o Ativo Y.

Solução 1a

2) O Sr. KL pode investir em dois ativos: ativo A e ativo B. Ele está estimando os seguintes retornos para os dois ativos:

Calcule:

• o retorno esperado de cada ação;
• a variância e o desvio-padrão dos retornos esperados de cada ação;
• a covariância e o coeficiente de correlação linear entre os retornos esperados das duas ações;
• o retorno e o desvio-padrão dos retornos esperados para uma carteira com a seguinte composição: 60% de A e 40% de B;
• a média ponderada dos desvios-padrão dos retornos esperados dos títulos individuais.

Solução 2

Toda vez que o coeficiente de correlação linear entre os retornos de dois ativos diferentes for menor do que 1,0, para qualquer composição de carteira entre estes dois ativos, o desvio-padrão da carteira será sempre menor do que a média ponderada entre os desvios-padrão dos ativos individuais. Isto mostra que a diversificação entre ativos que apresentam coeficiente de correlação linear menor do que 1,0 irá sempre contribuir para a redução do risco total da carteira. Logo, nesta situação, irá compensar aplicar numa carteira com dois ativos diferentes ao invés de aplicar numa carteira com ativos isolados.

Solução 2

Retorno esperado de cada ação --

_A = (0,25 x –6,0) + (0,50 x 15,0) + (0,25 x 25,0)
_A = 12,25%
_B = (0,25 x 4,5) + (0,50 x 8,5) + (0,25 x 12,0)
_B = 8,375%

Variância e Desvio padrão dos retornos esperados de cada ação:

_A = [(-6,0 – 12,25)² x 0,25 + (15,0 –12,25)² x 0,50 + (25,0 – 12,25)² x 0,25]/10.000

_A = 0,01277

_A = 0,01277

_A = 0,1130 x 100

_A = 11,30%

_B = [(4,5 – 8,375)² x 0,25 + (8,5 –8,375)² x 0,50 + (12,0 – 8,375)² x 0,25]/10.000

_B = 0,000705

_B = 0,000705

_B = 0,02655 x 100

_B = 2,655%

Covariância entre os retornos esperados das duas ações:

Cov_A,B = [(-6,0 – 12,25) (4,5 – 8,375) x 0,25 + (15,0 – 12,25) (8,5 – 8,375) x 0,50 + (25,0 – 12,25) (12,0 – 8,375) x 0,25]/10.000
Cov_A,B = 0,002940625

Correlação entre os retornos das duas ações:

Fórmula geral:

rX,Y = CovX,Y / X x Y

r_A,B = 0,002940625/0,1130 x 0,02655
r_A,B = +0,98

Retorno esperado da carteira AB:

_P = (0,60 x 12,25) + (0,40 x 8,375)
_P = 10,70%

Desvio-padrão dos retornos esperados da carteira AB

Fórmula:

P = w2x . varx + w2y . Vary + 2 . wx . wy . covx,y

Onde:

_P = desvio-padrão da carteira com dois ativos diferentes
w_x = peso do “ativo x” na carteira
var_x = variância dos retornos esperados do “ativo x”
w_y = peso do “ativo y” na carteira
var_y = variância dos retornos esperados do “ativo y”
  . = sinal de vezes
_PA,B = 0,6². 0,012769 + 0,4² . 0,000705 + 2 . 0,60 . 0,40 .
0,002940625
_PA,B = 0,0782 x 100

_PA,B = 7,82%

Média ponderada dos desvios-padrão dos retornos esperados dos títulos individuais:

MPDP = (0,60 x 11,30) + (0,40 x 2,66)
MPDP = 7,84%

3) Suponhamos que você tenha aplicado em apenas duas ações, X e Y. Você entende que os retornos das ações dependem dos três estados seguintes da economia, que têm probabilidades iguais de ocorrência:

Calcule:

• o retorno esperado de cada ação;
• a variância e o desvio-padrão dos retornos esperados de cada ação;
• a covariância e o coeficiente de correlação linear entre os retornos das duas ações.

Imagine uma carteira com a seguinte composição: 70% de X e 30% de Y. Neste caso:

• Calcule o retorno esperado da carteira e o desvio-padrão dos retornos esperados da carteira.
• Faça uma comparação entre o investimento numa carteira com apenas um ativo e uma carteira com dois ativos diferentes.

Solução 3

Solução 3

Retorno esperado de cada ação:

_X = (5,0 + 10,0 + 6,0)/3
_X = 7,0% ou 7,0/100= 0,07
_Y = (-6,0 + 26,0 + 32,0)/3
_Y = 17,33% ou 17,33/100= 0,1733

Variância e Desvio-padrão dos retornos estimados de cada ação:

_X = {[(5,0 – 7,0)² + (10,0 – 7,0)² + (6,0 – 7,0)²]/3}/10.000

_X = 0,000467

_X = 0,000467

_X = 0,0216 x 100

_X = 2,16%

_Y = {[(-6,0 – 17,33)² +(26,0 – 17,33)² +(32,0 – 17,33)²]/3}/10.000

_Y = 0,027822

_Y = 0,027822

_Y = 0,1668 x 100

_Y = 16,68%

Covariância entre os retornos esperados das duas ações:

Cov_X,Y = {[(5,0 – 7,0) (-6,0 – 17,33) + (10,0 – 7,0) (26,0 – 17,33) + (6,0 – 7,0) (32,0 – 17,33)]/3}/10.000
Cov_HH,SM = 0,001933

Coeficiente de correlação linear entre os retornos esperados das duas ações:

r_X,Y = 0,001933/0,0216 x 0,1668
r_X,Y = +0,54

Retorno esperado da carteira XY:

_P = (0,70 x 7,0) + (0,30 x 17,33)
_P = 10,099%

Desvio-padrão dos retornos esperados da carteira XY:

_PX,Y = 0,7². 0,000467 + 0,3² . 0,027822 + 2 . 0,70 . 0,30 . 0,001933
_PX,Y = 0,0595 x 100

_PX,Y = 5,95%

Média ponderada dos desvios-padrão dos retornos esperados dos títulos individuais:

MPDP = (0,70 x 2,16) + (0,30 x 16,68)
MPDP = 6,52%

4) Foram fornecidos a você os seguintes dados do retorno sobre três ativos - F, G, e H - durante os próximos quatro anos.

Usando esses ativos, você isolou três alternativas de investimento:

Com base nesses dados:

a) calcule o retorno esperado, a variância e o desvio-padrão para cada um dos ativos;
b) calcule a covariância e o coeficiente de correlação linear para cada par de ativos solicitado;
c) calcule o retorno esperado e o desvio-padrão para cada carteira solicitada;
d) o risco total (desvio-padrão) aumentou ou diminuiu na comparação entre a aplicação numa carteira com ativos isolados e numa carteira com dois ativos diferentes?

Solução 4

Solução 4

a1) retorno esperado para cada ativo isolado:

_F = (16 + 17 + 18 + 19)/4
_F = 17,5%
_G = (17+16+15+14)/4
_G = 15,5%
_H =(14 +15+16+17)/4
_H = 15,5%

a2) Variância e desvio-padrão dos retornos esperados:

_kF = {[(16 – 17,5)² + (17 – 17,5)² + (18 – 17,5)² + (19 – 17,5)²]/4}/10.000
_kF = 0,000125

_kF = 0,000125

_kF = 0,01118

_kG ={[(17 – 15,5)² + (16 – 15,5)² + (15 – 15,5)² + (14 – 15,5)²]/4 }10.000

_kG = 0,000125

_kG = 0,000125

_kG = 0,01118

_kH ={[(14 – 15,5)² + (15 – 15,5)² + (16 – 15,5)² + (17 – 15,5)²]/4 }/10.000

_kH = 0,000125

_kH = 0,000125

_kH= 0,01118

4b) covariância e coeficiente de correlação linear:

Cov_G,H = {[(17 -15,5) . (14 – 15,5) + (16 -15,5) . (15 – 15,5) + (15 – 15,5) . (16 – 15,5) + (14 – 15,5).(17 – 15,5)]/4}/10.000
Cov_G,H = -0,000125

Observe que:

• No Ano 1, enquanto o retorno esperado do Ativo G se apresenta acima do retorno médio esperado (17% >15,5%), no Ativo H, o retorno esperado se apresenta abaixo da média (14% < 15,5%), logo, os retornos esperados se apresentam em sentidos contrários, enquanto um anda acima da sua média, o outro anda abaixo da sua média, portanto, a correlação é negativa (isto é ótimo).

• No Ano 2, enquanto o retorno esperado do ativo G anda acima da média (16% > 15,5%), o retorno estimado para o ativo H anda em sentido contrário (15% < 15,5%), ou seja, ambos os retornos esperados se comportam em sentido contrário ao das suas médias, logo, novamente estamos diante de uma correlação negativa, o que é muito bom. Deve-se sempre perseguir correlação negativa.

• O mesmo processo pode ser observado para o Ano 3 e para o Ano 4. Em muitas situações, como neste exemplo, se percebe o sinal da covariância sem ser necessário o cálculo, basta olhar o comportamento dos retornos esperados ou observados com seus respectivos retornos médios esperados ou observados.

r_GH = -0,000125/0,01118 x 0,01118
r_GH = -1,0 (correlação perfeitamente negativa)

Cov_F,G = {[(17 -15,5) . (16 – 17,5) + (16 -15,5) . (17 – 17,5) + (15 – 15,5) . (18 – 17,5) + (14 – 15,5).(19 – 17,5)]/4}/10.000
Cov_F,G = -0,000125
r_F,G = -0,000125/0,01118 x 0,01118
r_F,G = -1,0 (correlação perfeitamente negativa)

Cov_F,G = {[(14 -15,5) . (16 – 17,5) + (15 -15,5) . (17 – 17,5) + (16 – 15,5) . (18 – 17,5) + (17 – 15,5).(19 – 17,5)]/4}/10.000
Cov_F,G = 0,000125

Observe que:

Ano 1: tanto o retorno esperado de F quanto o retorno esperado de H andam no mesmo sentido (correlação positiva), isto é, ambos operam abaixo das suas respectivas médias.

Ano 2: assim como ocorreu no Ano 1, ambos os retornos esperados estão andando abaixo das respectivas médias, ou seja, andando no mesmo sentido (correlação positiva);

Ano 3: ambos os retornos esperados estão andando acima das suas respectivas médias (18% >17,5%) e (17% >15,5%), novamente, correlação positiva.

Ano 4: idem o observado no Ano 3.
r_F,H = 0,000125/0,01118 x 0,01118
r_F,H = 1,0 (correlação perfeitamente positiva)
Veja que o sinal do coeficiente é igual ao sinal da covariância.

4c) cálculo do retorno de cada carteira/desvio-padrão de cada carteira:

Carteira 40% de G e 60% de H
_P = (0,40 x 15,5) + (0,60 x 15,5)
_P = 15,5%
_PG,H =0,4² x 0,000125 + 0,6² x 0,000125 + 2,0 x 0,4 x 0,6 x -0,000125
_PG,H = 0,0022 x 100

_PG,H = 0,22%

Média ponderada dos desvios-padrão dos ativos individuais
MP = (0,4 x 1,118) + (0,6 x 1,118)
MP = 1,118%

Percebemos que a diversificação reduziu muito o risco, pois, na carteira com dois ativos, o risco total é igual a 0,22%, enquanto a média ponderada dos desvios padrão dos títulos individuais alcançou 1,118%. O motivo para esta queda significativa do risco deve-se ao fato de estarmos diante de uma dupla de ativos que apresenta correlação perfeitamente negativa.

Carteira 60% de F e 40% de G
_P = (0,60 x 17,5) + (0,40 x 15,5)
_P = 16,7%
_PF,G =0,6² x 0,000125 + 0,4² x 0,000125 + 2,0 x 0,6 x 0,4 x -0,000125
_PF,G = 0,22%

Média ponderada dos desvios-padrão dos ativos individuais
MP = (0,6 x 1,118) + (0,4 x 1,118)
MP = 1,118%

Novamente, em função do par de ativos apresentarem um coeficiente de correlação linear igual a -1,0, percebemos uma forte redução no risco total medido pelo desvio-padrão, que passou de 1,118% para 0,22%.

Carteira 70% de F e 30% de H
_P = (0,70 x 17,5) + (0,30 x 15,5)
_P = 16,90%
_PF,G =0,7² x 0,000125 + 0,3² x 0,000125 + 2,0 x 0,7 x 0,3 x 0,000125
_PF,G = 0,01118 x 100

_PF,G = 1,118%

Média ponderada dos desvios-padrão dos ativos individuais
MP = (0,7 x 1,118) + (0,3 x 1,118)
MP = 1,118%

Neste caso, para qualquer composição de carteira entre os ativos F e H, o desvio-padrão dos retornos esperados da carteira será sempre igual à média ponderada dos desvios-padrão dos retornos esperados dos títulos individuais. Assim, seria indiferente colocar o dinheiro numa carteira com apenas um ativo ou colocar o dinheiro numa carteira com dois ativos diferentes porque o risco total (medido pelo desvio-padrão) não sofreu nenhuma redução. Observe que neste par de ativos o coeficiente de correlação linear é igual a 1,0.

Logo, somente diante de pares de ativos com coeficiente de correlação linear menor do que 1,0 é que será possível ocorrer diminuição do risco total entre uma carteira com dois ativos diferentes e uma carteira com ativo individual (isolado).

5) Suponhamos que um investidor tenha como universo de investimentos apenas as três ações a seguir: Microsoft, Boeing (fabricação de aeronaves) e The Home Depot (loja de material de construção nos EUA). A seguir, os retornos observados destas ações:

Ano	%	%	%
1991	122	5	161
1992	15,09	-16	50,3
1993	-5,43	7,8	-22
1994	51,29	8,7	16,5
1995	43,59	66,8	3,8
1996	88,33	35,9	5,0
1997	56,38	-8,1	76,2
1998	114,61	-33,1	107,9

Com base nestas informações, supondo-se que predomina a aversão ao risco:

a) caso o investidor esteja interessado em aplicar a sua sobra de caixa num destes três ativos, qual ativo seria escolhido?

Resposta 5a

Resposta 5a - carteira com apenas um ativo (ativo isolado)

a1) Retorno médio observado para cada um dos papéis:

_Microsofr = (122 + 15,09 – 5,43 + 51,29 + 43,59 + 88,33 + 56,38 + 114,61)/8
_Microsofr = 60,73%
_Boeing = (5 -16 + 7,8 + 8,7 + 66,8 + 35,9 – 8,1 – 33,10)/8
_Boeing = 8,375%
_Depot = (161 + 50,3 – 22 + 16,5 + 3,8 + 5,0 + 76,2 + 107,9)/8
_Depot = 49,84%

a2) Variância entre os retornos observados

= {[(122 – 60,73)² +(15,09 – 60,73)² + (-5,43 – 60,73)² + (51,29 – 60,73)² + (43,59 – 60,73)² + (88.33 – 60,73)² + (56,38 – 60,73)² +(114,61 – 60,73)²]/(8 -1)}/10.000
Microsoft: = 0,204012

= {[(5 – 8,375)² + (-16 – 8,375)² + (7,8 – 8,375)² + (8,7 – 8,375)² +(66,8 – 8,375)² + (35,9 – 8,375)² + (-8,1 – 8,375)² + (-33,10 – 8,375)²]/(8-1)}/10.000
Boeing: = 0,096695

= {[(161 – 49,84)² + (50,3 – 49,84)² + (-22 – 49,84)² + (16,5 – 49,84)² + (3,8 – 49,84)² + (5 – 49,84)² + (76,2 – 49,84)² + (107,9 – 49,84)²]/(8-1)}/10.000
The Home Depot: = 0,383220

a3) Desvio padrão dos retornos observados

= [ (22 – 60,73)² +(15,09 – 60,73)² + (-5,43 – 60,73)² + (51,29 – 60,73)² + (43,59 – 60,73)² + (88.33 – 60,73)² + (56,38 – 60,73)² +(114,61 – 60,73)²]/(8 -1)
Microsoft: =45,17%

= [(5 – 8,375)² + (-16 – 8,375)² + (7,8 – 8,375)² + (8,7 – 8,375)² +(66,8 – 8,375)² + (35,9 – 8,375)² + (-8,1 – 8,375)² + [(-33,10 – 8,375)²]/(8-1)
Boeing: = 31,10%

= [(161 – 49,84)² + (50,3 – 49,84)² + (-22 – 49,84)² + (16,5 – 49,84)² + (3,8 – 49,84)² + (5 – 49,84)² + (76,2 – 49,84)² + (107,9 – 49,84)²]/(8-1)
The Home Depot: = 61,90%

a4) Coeficiente de variação

CV_Microsoft = 45,17/60,73
CV_Microsoft = 0,74
CV_Boeing = 31,10/8,375
CV_Boeing = 3,71
CV_Depot = 61,90/49,84
CV_Depot = 1,24

A Home Depot apresentou a maior variância e, evidentemente, o maior desvio-padrão, logo, em termos de valor absoluto, este seria o papel mais arriscado.

A Microsoft apresentou variância e desvio-padrão menor do que a Home Depot, porém, maior do que a Boeing.

A Boeing apresentou a menor variância e o menor desvio-padrão, logo, em termos de valor absoluto seria o menor risco.

Neste exemplo o ativo mais arriscado não foi aquele que apresentou a maior variância nem o maior desvio-padrão. Em termos de valor relativo, isto é, pela razão: “risco/retorno” o ativo mais arriscado foi a Boeing, justamente aquele que apresentou a menor variância e o menor desvio-padrão.

Na verdade, os três papéis são arriscados. Porém, para uma carteira com apenas um ativo, supondo a existência somente desses ativos, assim como, de que predomina a aversão ao risco, nenhum investidor racional escolheria o papel da Boeing nem o papel da Home Depot. Porque estes dois papéis apresentam risco maior e retorno menor que o papel da Microsoft.

Neste exemplo somente a ação da Microsoft poderia ser escolhida.

Resposta 5b - carteira com dois ativos diferentes

b1) covariância entre os retornos observados

Cov_Mic,Boe ={[(122 – 60,73) (5 – 8,375) + (15,09 – 60,73) (-16 – 8,375) + (-5,43 – 60,73) (7,8 – 8,375) + (51,29 – 60,73) (8,7 – 8,375) + (43,59 – 60,73) (66,8 – 8,375) + (88.33 – 60,73) (35,9 – 8,375) + (56,38 – 60,73) (-8,1 – 8,375) + (114,61 – 60,73) (-33,10 – 8,375)](8-1)}/10.000
Cov_Mic,Boe = -0,020915

Cov_Mic,Depot ={[(122 – 60,73) (161 – 49,84)+ (15,09 – 60,73) (50,3 – 49,84) + (-5,43 – 60,73) (-22 – 49,84) + (51,29 – 60,73) (16,5 – 49,84) + (43,59 – 60,73) (3,8 – 49,84) + (88.33 – 60,73) (5 – 49,84) + (56,38 – 60,73) (76,2 – 49,84) +(114,61 – 60,73) (107,9 – 49,84)](8-1)}/10.000
Cov_Mic,Depot = 0,206037

Cov_Boe,Depot = {[(5 – 8,375) (161 – 49,84) + (-16 – 8,375) (50,3 – 49,84) + (7,8 – 8,375) (-22 – 49,84) + (8,7 – 8,375) (16,5 – 49,84) + (66,8 – 8,375) (3,8 – 49,84) + (35,9 – 8,375) (5 – 49,84) + (-8,1 – 8,375) (76,2 – 49,84) + (-33,10 – 8,375) (107,9 – 49,84)](8-1)}/10.000
Cov_Boe,Depot = -0,101748


b2) coeficiente de correlação linear entre os retornos observados

r_Mic,Boe =-0,020915/(0,4517 x 0,3110)
r_Mic,Boe = -0,15

r_Mic,Depot = 0,206037/(0,4517 x 0,6190)
r_Mic,Depot = 0,74

r_{Boe, Depot} = -0,101748/(0,3110 x 0,6190)
r_{Boe, Depot} = -0,53

Neste exemplo, estamos diante de retornos observados que realmente aconteceram; não se trata de um exemplo puramente teórico. As três carteiras propostas: Microsoft/Boeing, Microsoft/Home Depot e Boeing/Home Depot apresentaram coeficientes de correlação linear menor do que +1,0, logo, para qualquer composição de carteira com dois ativos para estes três papéis, o risco de cada uma das carteiras, medido pelo desvio-padrão da carteira, seria sempre menor que a média ponderada dos desvios-padrão dos títulos individuais.

Neste exemplo, as duas melhores carteiras seriam aquelas formadas com papéis da Boeing, sendo que a carteira Boeing/Home Depot seria a menos arriscada, por apresentar um coeficiente de correlação linear mais próximo de -1,0. Exatamente, supondo que existissem apenas estes três ativos, os dois papéis rejeitados para uma carteira com apenas um ativo, formam o melhor par de ativos para uma carteira com dois ativos. Este raciocínio se aplica também para uma carteira com vários ativos. Isto mostra a importância da diversificação na redução do risco em carteiras com mais de um ativo.

6) A tabela seguinte resume os retornos anuais que você teria obtido sobre duas empresas – Scientific Atlanta, fabricante de satélites e equipamentos de processamento de dados, e a At&T, a gigante das telecomunicações, entre 1988 e 1998.

Ano	%	%
1989	80,95	58,26
1990	-47,37	-33.79
1991	31,00	29,88
1992	132,44	30,35
1993	32,02	2,94
1994	25,37	-4,29
1995	-28,57	28,86
1996	0,00	-6,36
1997	11,67	48,64
1998	36,19	23,55

a) Calcule o retorno médio observado para cada um dos dois papéis.
b) Calcule a variância, o desvio-padrão e o coeficiente de variação para cada um dos papéis.
c) Supondo que predomina a aversão ao risco, para uma carteira com um ativo isolado, qual seria o perfil do investidor para cada um dos dois papéis?
d) Calcule a covariância e o coeficiente de correlação linear para este par de ativos.
e) Este par de ativos seria uma boa dupla para uma carteira com dois ativos? Justifique.

Solução 6

Solução 6

6a) retorno médio observado para cada um dos ativos

_Atlanta = (80,95 – 47,37 + 31,0 + 132,44 + 32,02 + 25,37 – 28,57 + 11,67 + 36,19)/10
_Atlanta = 27,37%
_AT = (58,26 - 33,79 + 29,88 + 30,35 + 2,94 - 4,29 + 28,86 - 6,36 + 48,64 + 23,55)/10
_AT = 17,80%

6b) variância, desvio-padrão e coeficiente de variação

Atlanta
= {[(80,95 – 27,37)² + (-47,37 – 27,37)² +(31 – 27,37)² +(132.44 – 27,37)² +(32,02 – 27,37)² + (25,37 – 27,37)² + (-28,57 – 27,37)² + (0 – 27,37)² + (11,67 – 27,37)² + (36,19 – 27,37)²]/(10-1)}/10.000
= 0,263756
= [(80,95 – 27,37)² + (-47,37 – 27,37)² +(31 – 27,37)² +(132.44 – 27,37)² +(32,02 – 27,37)² + (25,37 – 27,37)² + (-28,57 – 27,37)² + (0 – 27,37)² + (11,67 – 27,37)² + (36,19 – 27,37)2]/(10-1)
= 51,36%
CV = 51,36/27,37
CV = 1,88

AT&T
= {[(58,26 – 17,80)² +(-33,79 – 17,80)² + (29,88 – 17,80)² + (30,35 – 17,80)² + (2,94 – 17,80)² + (-4,29 – 17,80)² + (28,86 – 17,80)² + (-6,36 – 17,80)² + (48,64 – 17,80)² + (23,55 – 17,80)²]/(10-1)}/10.000
= 0,077788
= [(58,26 – 17,80)² +(-33,79 – 17,80)² + (29,88 – 17,80)² + (30,35 – 17,80)² + (2,94 – 17,80)² + (-4,29 – 17,80)² + (28,86 – 17,80)² + (-6,36 – 17,80)² + (48,64 – 17,80)² + (23,55 – 17,80)²]/(10-1)
= 27,89%
CV = 27,89/17,80
CV = 1,57

6c) Para uma carteira composta com apenas um ativo isolado.

Supondo a existência de apenas estes dois papéis, a AT&T seria escolhida por investidores com maior aversão ao risco porque este tipo de investidor se satisfaz com um retorno menor, desde que assuma um risco menor. Neste exemplo, para o período entre 1988 e 1998, o papel da AT&T apresentou o menor retorno e, também, o menor risco para as três estatísticas medidoras de risco utilizadas para ativos isolados.

Por sua vez, o papel da Scientific Atlanta seria escolhido por investidores com menor aversão ao risco, porque este tipo de investidor está disposto a correr um risco maior, desde que, em contrapartida, receba um retorno maior.

6d) Covariância e coeficiente de correlação linear

Cov_Atlanta,AT = {[(80,95 – 27,37) (58,26 – 17,80) + (-47,37 – 27,37) (-33,79 – 17,80) + (31 – 27,37) (29,88 – 17,80) + (132,44 – 27,37) (30,35 – 17,80) + (32,02 – 27,37) (2,94 – 17,80) + ( 25,37 – 27,37) (-4,29 – 17,80) + (-28,57 – 27,37) ( 28,86 – 17,80) + ( 0 – 27,37) ( -6,36 – 17,80) + ( 11,67 – 27,37) ( 48,64 – 17,80) + (36,19 – 27,37) (23,55 – 17,80)]/(10 -1)}/10.000
Cov_Atlanta,AT = 0,077448
r_Atlanta,AT = 0,077448/0,5136 x 0,2789
r_Atlanta,AT =+0,54

6e) Para uma carteira com dois ativos

Vamos supor que a carteira seria composta por 50% da Atlanta e 50% da AT&T.

Retorno observado da carteira:
_{PAtlanta, AT} = (0,50 x 27,37) + ( 0,50 x 17,80)
_{PAtlanta, AT} = 22,585%

Média ponderada dos desvios-padrão dos títulos individuais:
MPDP = (0,50 x 51,36) + (0,50 x 27,89)
MPDP = 39,625%

Desvio-padrão da carteira com dois ativos para a composição 50% para cada papel:
_P =[0,5² x 0,263756 + 0,5² x 0,077788 + 2,0 x 0,50 x 0,50 x 0,077448] x 100
_P = 35,23%

Neste exemplo, também com dados reais, percebemos que a carteira com dois ativos seria preferível à carteira com apenas um ativo isolado porque o coeficiente de correlação linear entre os retornos observados dos dois ativos é < +1,0. Percebemos que a diversificação provocou uma redução no risco, medido pelo desvio-padrão dos retornos observados da carteira com dois ativos, pois o desvio-padrão da carteira é menor que a média ponderada dos desvios-padrão dos retornos observados dos títulos individuais (35,23% < 39,625%). Na medida em que o investidor distribui mais o seu dinheiro, isto é, diversifica suas aplicações, a tendência é a redução do risco da carteira. Essa redução é ainda mais rápida se a dupla de ativos com correlação negativa forem incorporadas à carteira.

Retorno médio esperado do ativo A = 25%
Coeficiente de variação do ativo A = 0,75
Retorno médio esperado do ativo B = 17,5%
Coeficiente de variação do ativo A = 0,45

Com base nesses dados, faça o que se pede a seguir.

• Calcule o retorno médio do desvio-padrão e da variância dos retornos esperados para os ativos A e B.
• Supondo que predomina a aversão ao risco, como seria a escolha da carteira com apenas um ativo por parte dos investidores? Explique.
• Avançando, suponha que a covariância entre os retornos esperados dos ativos A e B está estimada para -0,005.
• Calcule o coeficiente de correlação linear entre os retornos esperados dos ativos A e B.
• Seria interessante para os investidores aplicar suas sobras de caixa numa carteira composta por dois ativos diferentes?

Solução 7

8) Suponha que você possua uma fortuna (R$2.000.000) investida no Bradesco FIA Multisetorial (um fundo de ações) e espera obter um retorno anual de 25%, com um desvio-padrão de 45%. Por algum motivo, a sua aversão ao risco aumentou e você decidiu trocar R$500.000 do fundo de ações administrado pelo Bradesco para títulos do Tesouro Nacional. A taxa de títulos do Tesouro Nacional é de 9,25% (taxa livre de risco). Faça uma estimativa do retorno esperado e do desvio-padrão da sua nova carteira de investimentos.

Solução 8

Solução 7

7a) carteira com ativo isolado:

Sabemos que a fórmula do coeficiente de variação é a seguinte:
CV = / para valores históricos
CV = / para valores esperados

Percebemos que o ativo A é mais arriscado para as três estatísticas medidoras de risco operadas. Supondo que predomina a aversão ao risco, o ativo A poderia ser escolhido por investidores com menor aversão ao risco; enquanto o ativo B poderia ser escolhido por investidores com maior aversão ao risco. Por quê? Os investidores com menor aversão ao risco estão dispostos a correr mais risco, desde que o retorno esperado seja maior. Por sua vez, os investidores com maior aversão ao risco preferem ativos com risco menor, no entanto, aceitam retornos menores. Neste exemplo, o ativo A opera com o maior risco esperado e com o maior retorno esperado. O ativo B apresenta o menor retorno esperado e, também, o menor risco esperado.

7b) carteira com dois ativos:

r_A,B = Cov_A,B/(_A . _B)
r_A,B = -0,005/(0,1875 x 0,07875)
r_A,B = - 0,34

Percebemos que o r_A,B < 1,0, logo, seria preferível aplicar as sobras de dinheiro numa carteira com dois ativos diferentes ao invés de aplicar numa carteira com apenas um ativo isolado, porque o risco total medido pelo desvio-padrão dos retornos esperados da carteira, para qualquer composição de carteira entre os ativos A e B, será sempre menor que a média ponderada dos desvios-padrão dos títulos isolados. A diversificação irá permitir a redução do risco total. Essa dupla de ativos seria uma boa opção para uma carteira composta por vários ativos diferentes, porque ele apresenta correlação negativa.

A perseguição por duplas de ativos com correlação negativa deve ser a máxima de todo administrador de carteiras de ativos. Por quê? Porque, segundo Damodaran (2004), na medida em que o coeficiente de correlação entra em declínio, o mesmo ocorre com o desvio-padrão da carteira.

Solução 8

Neste exemplo, devemos considerar os títulos do Tesouro Nacional como sendo livres de risco, portanto, com desvio-padrão igual a 0%.

_P = (w_Fundo x _Fundo) + (w_Tesouro x _Tesouro)

Sabemos que, antes do aumento da sua aversão ao risco, toda a sua sobra de caixa estava aplicada no fundo de ações, logo, o peso para o fundo era igual a 1,0 ou 100%. Agora, a situação mudou, a sua nova posição será: R$ 500.000 em títulos, ou seja:

w_Tesouro = 500/2.000
w_Tesouro = 0,25 ou 25%
w_Fundo = 1.500/2.000
w_Fundo = 0,75 ou 75%
_P = (0,75 x 25) + (0,25 x 9,25)
_P = 21,06%

Cálculo do desvio-padrão esperado da nova carteira:

_P = (0,75 x 45) + (0,25 x 0)
_P = 33,75%

Percebemos que o aumento da aversão ao risco provocou a busca por um papel menos arriscado, no seu caso, foi um papel considerado livre de risco. Com isso, você teve o risco da sua carteira reduzido de 45% para 33,75%, por outro lado, a sua estimativa de retorno reduziu de 25% para 21,06%. O aumento na aversão ao risco fez com que você aceitasse um retorno menor com um risco menor. A diversificação permite que isto aconteça.

Com base nesses dados, resolva as questões a seguir.

a) Presumindo que a média e desvio-padrão, estimados a partir de retornos passados, irão se manter no futuro, faça uma estimativa dos retornos médios e desvio-padrão de uma carteira de investimentos de 60% de ações da Coca-Cola e 40% da Texas Utilities.
b) Faça uma estimativa da carteira de investimentos de variância mínima.
c) Agora, suponha que a diversificação internacional da Coca-Cola irá reduzir a correlação para 0,20, enquanto aumenta o desvio-padrão em retornos da Coca-Cola para 45%. Presumindo que todos os outros números permaneçam como estão, responda (a) e (b).

Solução 9

10) Suponhamos que existam no mundo apenas dois ativos: ouro e ações. Seu interesse é investir seu dinheiro em um ou em outro ou em ambos os ativos. Consequentemente, você junta os seguintes dados sobre os retornos dos dois ativos pelos últimos seis anos:

	Ouro		Mercado de Ações
Retorno médio	8%		20%
Desvio-padrão	25%		22%
Correlação		-0,4

Com base nesses dados, resolva as questões a seguir.

a) Se você tivesse de escolher apenas um deles, qual escolheria?
b) Se um amigo argumentasse que você está errado, pois está ignorando grandes rendimentos que poderia obter com o ouro, como você conseguiria reduzir sua preocupação?
c) Como se comportaria uma carteira de investimentos composta de proporções iguais de ouro e ações, em termos de média e desvio-padrão?
d) Você ficou sabendo que o GPEC (um cartel de países produtores de ouro) determinará o montante de ouro que produzirá a partir dos preços de ações nos EUA. (O GPEC irá produzir menos ouro quando os mercados de ações estiverem em alta e mais quando estiverem em baixa). Que efeito isso provocará sobre suas carteiras de investimentos? Explique.

Solução 10

Solução 9

9a) carteira composta por 60% da Coca-Cola e 40% da Texas

_P = (0,6 x 25) + (0,4 x 12)
_P = 19,8%
_P = 0,6² . 36² + 0,4² . 22² + 2,0 . 0,6 . 0,4 . 36 . 22 . 0,28
_P = 25,50%

Você poderia calcular o desvio-padrão da carteira a partir da covariância, para tanto se faz necessário calcular a covariância:

Cov_{Coca-Cola,Texas} = 0,28 x 0,36 x 0,22
Cov_{Coca-Cola,Texas} = 0,022176
_P = 0,6² . 0,36² + 0,4² . 0,22² + 2,0 . 0,6 . 0,4 . 0,022176
_P = 0,2550 x 100

_P = 25,50%

Calcular a média ponderada dos desvios-padrão dos títulos individuais:

MPDP = (0,6 x 36) + (0,4 x 22)
MPDP = 30,40%

Logo, 25,50% < 30,40%, qual a causa? O fato de o coeficiente de correlação linear ser < +1,0.

9b) Cálculo da carteira de variância mínima, também conhecida por carteira de menor variância.

Nós iremos operar, na verdade, a carteira de menor desvio-padrão. Para encontrarmos a carteira de menor desvio-padrão, devemos primeiro calcular o peso de cada um dos ativos na carteira:

Fórmula geral:

w_X = (_Y – Cov_X,Y)/ [(_X + _Y) – (2 . Cov_X,Y)]
w_Y = (_X – Cov_X,Y)/ [(_X + _Y) – (2 . Cov_X,Y)]

Para o nosso exemplo temos:

w_Coca-Cola = (_Texas – Cov_{Coca-Cola,Texas})/ [(_Coca-Cola + _Texas) – (2 . Cov_{Coca-Cola,Texas})]
w_Coca-Cola = (0,22² – 0,022176)/[(0,36² + 0,22²) – (2 x 0,022176)]
w_Coca-Cola = 0,026224/0,133648
w_Coca-Cola = 0,1962 x 100

w_Coca-Cola = 19,62%

Como o somatório dos pesos tem que ser igual a 1,0 ou 100%:

w_Texas = 1,0 – 0,1962
w_Texas = 0,8038 ou 80,38%

Portanto, a carteira com menor variância será composta por 19,62% da Coca-Cola e 80,38% da Texas.

Retorno da carteira de menor variância:

_P = (0,1962 x 25) + (0,8038 x 12)
_P = 14,55%

Desvio-padrão da carteira:

_P = 0,1962² . 0,36² + 0,8038² . 0,22² + 2,0 . 0,1962 . 0,8038 . 0,022176
_P = 0,2080 x 100

_P = 20,80%

O que significa a carteira de menor variância (na verdade a carteira de menor desvio-padrão, porque se fossemos calcular a carteira de menor variância o valor encontrado seria = 0,2080² = 0,043264)?

O desvio-padrão e a variância da carteira de dois ativos é uma função da correlação entre os retornos dos dois ativos. Quanto maior a correlação dos retornos entre os dois ativos, menor o benefício da diversificação. A carteira de menor variância é uma carteira que funciona como uma espécie de divisor de águas. Por quê? Neste exemplo, qualquer carteira com retorno superior a 14,55% irá apresentar desvio-padrão da carteira > 20,80%. Por sua vez, qualquer carteira com retorno < 14,55% irá apresentar desvio-padrão da carteira > 20,80%.

Neste exemplo, investidores com maior aversão ao risco irão escolher a carteira de menor variância. Na medida em que carteiras formadas pelo par de ativos composto pela Coca-Cola e pela Taxas Utilities, se afastarem da carteira de menor variância, menor será a aversão ao risco, porque o investidor irá aceitar risco esperado maior, porém, com retorno esperado também maior.

Nenhuma carteira abaixo da carteira de menor variância seria escolhida, porque seria um comportamento irracional do investidor: aceitar carteira com risco esperado maior e retorno esperado menor que o da carteira de menor variância não faz qualquer sentido. Não esqueça que estamos supondo que o nosso investidor típico é uma pessoa com aversão ao risco.

Mais uma vez você deve estar observando que existe uma preocupação com a aversão ao risco. Quanto maior a aversão, menor será a vontade por parte do investidor em se expor ao risco. Por outro lado, quanto menor a aversão ao risco, maior a disposição para correr risco, no entanto, maior também será a exigência de maiores retornos.

9c) Coca-Cola: retorno esperado = 25%; desvio-padrão esperado = 45%; Texas Utilities: retorno esperado = 12%; desvio-padrão = 22%. Coeficiente de correlação = 0,20.

Retorno esperado da carteira será o mesmo, logo:

_P = (0,6 x 25) + (0,4 x 12)
_P = 19,8%

Desvio-padrão da carteira:

_P = [0,6² . 0,45² + 0,4² . 0,22² + 2,0 . 0,6 . 0,4 . 0,45 . 0,22 . 0,20] x 100
_P = 30,02%
MPDP = [(0,6 x 0,45) + (0,4 x 0,22)] x 100
MPDP = 35,80%

Carteira de menor variância, na verdade de menor desvio-padrão:

w_Texas = (_Coca-Cola – Cov_{Coca-Cola,Texas})/ [(_Coca-Cola + _Texas) – (2 . Cov_{Coca-Cola,Texas})]
w_Texas = (0,45² – 0,022176)/[(0,45² + 0,22²) – (2 x 0,022176)]
w_Texas = 0,180324/0,206548
w_Texas = 0,8730 x 100

w_Texas = 87,30%
w_Coca-Cola = 1,0 – 0,8730
w_Coca-Cola = 0,1270 ou 12,70%

Retorno da carteira de menor variância:
_P = (0,1270 x 25) + (0,8730 x 12)
_P = 13,65%