Introdução a Função.

O uso de função surgiu antes mesmo do homem ter inventado os números. Imagine, por exemplo, como seria possível contar (enumerar) o que o homem possuía quando não existiam números.
O homem tinha que fazer associações. Para cada pedra que possuía estava associada uma fruta que tinha deixado em sua caverna ou cada risco no pedaço de madeira representava um dos seus animais, e assim por diante. Uma função é um caso particular de associação. Ou seja, função é uma associação de elementos de um conjunto, com elementos de um outro conjunto. Mas não é qualquer associação, na verdade, uma função é:

Uma regra que associa a cada elemento de um conjunto (domínio) um único elemento de um outro conjunto (contra-domímio).

As palavras chaves na definição de função são: cada e único.

Observação:
Utilizamos a notação f(x) para representar a regra que associará a cada elemento x do domínio um único elemento f do contra-domínio. Por exemplo queremos uma regra que associa um número ao seu triplo mais 4, ou seja, f(x)=3x+4.

Observação:
A variável x no caso é dita variável independente da função, é aquela que será substituída por valores pertencentes ao domínio da função, a variável f é dita variável dependente da função e o seu valor depende do valor de x. Por isso representamos por f(x) em vez de apenas f para identificarmos em relação a qual variável que f varia, mas nada impede que se coloque apenas f.

Observação:
Uma outra notação seria y para f(x) ou ainda g(x) ou h(t) etc. Não importa a letra que está sendo utilizada. O importante é sempre ter em mente que um variável percorre o domínio (variável independente) enquanto a outra variável percorrerá o contra-domínio (variável dependente).

Apenas a regra que usamos para associar os elementos não define uma função, também é necessário saber o domínio e o contra-domínio em que estamos aplicando a regra.

Exemplo:
Considere a regra que para cada elemento, x, de um conjunto associa com um elemento de um outro conjunto que seja igual a . A regra seria então . Se o número 0 pertencesse ao domínio da associação não conseguiríamos associar o 0 com nenhum elemento do contra-domínio, qualquer que venha a ser o contra-domínio, pois, não existe divisão por zero. Se o elemento 0 pertencer ao domínio da associação nunca teremos uma função.

Exemplo:
Considere a mesma regra anterior, com domínio {1,2,3,4} e contra-domínio , quando associamos elementos do domínio aos elementos do contra-domínio a partir da regra , vemos que o 1 se associa com o 1, o 2 se associa com o , o 3 se associa com o e o quatro, que deveria se associar com , não se associa com ninguém pois o não pertence ao contra-domínio. Logo a regra não é uma função quando o domínio e o contra-domínio são dados como acima.