Agora vamos fazer o teste da 2ª derivada para cada ponto crítico encontrado (x’=2 e x’’=5).

ƒ''(2) = 2 x 2 - 7 = -3 < 0 Então x=2 é ponto de máximo
ƒ''(5) = 2 x 5 - 7 = -3 > 0 Então x=5 é ponto de mínimo

Observação: Um ponto corresponde a um par ordenado composto de uma abscissa e uma ordenada correspondente. No exemplo 1, encontramos apenas o x correspondente ao ponto, de máximo e mínimo. Caso se queira calcular o valor máximo e/ou mínimo da função, basta substituí-los na função f(x).

Assim,

	é o valor máximo da função;
	é o valor mínimo da função.

Exemplo 2: Suponha que um empresário produz e vende certo produto, cujo custo de fabricação de x unidades é dado pela função . A demanda para esse produto obedece à relação p = 10 - x. Determine:

a) A quantidade que deve ser vendida para que o lucro seja máximo.
b) O Lucro máximo.
c) O preço para que o lucro seja máximo.

a) A quantidade que deve ser vendida para que o lucro seja máximo será exatamente a abscissa x correspondente ao ponto máximo da função lucro. Logo, queremos maximizar a função lucro. Assim, vamos obter a função L(x).

Por definição tem-se que:

L(x) = R(x) - C(x)

R(x) = p . x R(x) = (10 - x) . x R(x) = 10x - x²

Para maximizar esta função é necessário seguir os dois passos desenvolvidos anteriormente. Primeiro, encontrar os pontos críticos e, em seguida, aplicar o teste da 2ª derivada para determinar quem é ponto de máximo ou mínimo.

L'(x) = -x² + 2x
-x² + 2x = 0

Resolvendo a equação do 2º Grau acima obtemos as raízes x’ = 0 e x’’ = 2.

L''(x) = -2x + 2

L''(0) = 2 > 0 Então x=0 é ponto de mínimo

L''(2) = -2 < 0 Então x=2 é ponto de máximo

Logo, o lucro será máximo quando a forem vendidas 2 unidades.

b) Para determinar o lucro máximo basta substituir o x=2, que já sabemos que pertence ao ponto de máximo, na função lucro. Assim,

c) E, finalmente, para determinar o preço que maximiza o lucro, basta substituir o x=2, que corresponde à quantidade que maximiza o lucro, na função preço.

Assim, p(x) = 10 - x p = 8 R$