2 - Cálculo do valor futuro em função da variável aleatória “taxa de juros”, na capitalização composta

Seja F = C(1+I)n com C e n constantes e a variável aleatória taxa de juros I tem a seguinte distribuição de probabilidades I : D(Iµ ,Is).

A distribuição de probabilidades do capital futuro F será dada pelos pares (F, P(F)), em que P(F) = P(I), ou seja, a probabilidade do capital futuro é a mesma probabilidade da taxa de juros. Com relação à média e ao desvio-padrão do capital futuro F, calcula-se da seguinte forma:

Média

Fµ = E[F] = E[C(1+I)n] = C.E[(1+I)n]

Variância

Fs2 = S2(F) = S2(F) = S2[C(1+I)n] = C2 S2[C(1+I)n]

Desvio-padrão = raiz quadrada da variância

Fs = {C2 S2[C(1+I)n]}1/2

Daí, pode-se observar que não é possível calcularmos a média e o desvio-padrão em função da média Iµe desvio-padrão Is. Tem-se, portanto, que calcular a média e o desvio-padrão da função Z=(1+I)n, que é conhecida como variável reduzida em Estatística.

Dado, que S2(Z) = E(Z2)-[E(Z)]2, então para se obter Fµ e Fs deve-se calcular:

E(Z)=∑Zj.P(Zj) = ∑ (1+Ij)n.P(Ij)

E(Z2)= ∑Zj2.P(Zj) =∑(1+Ij)2n.P(Ij), e depois achar a sua raiz quadrada para chegar ao desvio-padrão.



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