Para calcular a média do VPL faz-se:

VPL_µ= F_µ1 /(1+I)^j + F_µ2 /(1+I)^j = [98/(1+0,1)¹+ [177/(1+0,1)² = VPLµ= R$ 235.370,00, que é idêntico ao obtido anteriormente, por meio da distribuição do VPL.

E, para calcular o desvio-padrão do VPL faz-se:

VPL_S= [∑[Fsj/(1+I)^j]²+2∑_j<k[(1/(1+I)^j+k.cov(Fj,Fk)]^1/2 que é igual a:

∑[(Fsj/(1+I)^j]²=[(Fs1/(1+I)¹]²+ [(Fs2/(1+I)²]²= [4/(1+0,1)]² + [29,34/(1+0,1)²]² = 601,19

Com relação ao segundo somatório, reduz-se a única parcela, dado que j=1 e k=2. Assim, tem-se:

[1/(1+I)]¹ + [1/(1+I)²].cov(F1, F2)

Se fossem três distribuições: F1, F2, e F3, o somatório teria o seguinte desenvolvimento:

[1/(1+I)]¹ + [1/(1+I)²].cov(F1,F2) + [1/(1+I)]¹ + 1/(1+I)²].cov(F1,F3) + [1/(1+I)]² + [1/(1+I)³].cov(F2, F3)

Como a taxa de juros I é igual a 10% ao ano, somente é necessário calcular a cov(F1, F2). Aí é necessário calcular as probabilidades conjuntas P(F1, F2), o que provoca um enorme esforço.

Calculando a cov (F1, F2), teremos:

Cov (F1, F2) = ∑∑ (F1i – Fµ1) (F2h – Fµ2).P(F1i, F2h), com o primeiro somatório variando de 1 a 2 e o outro, variando de 1 a 3, ou seja:

Cov (F1, F2) = [(F11 – Fµ1)(F21 – Fµ2).P(F11, F22) + (F11 – Fµ1)(F22 – Fµ2).P(F11, F22) + (F11 – Fµ1)(F23 – Fµ2).P(F11, F23)+(F12 – Fµ1)(F21 – Fµ2).P(F12, F21) + (F12 – Fµ1)(F22 – Fµ2).P(F12, F22) +(F12 – Fµ1)(F23 – Fµ2).P(F12, F23)

Como P(F1i, F2h) = P(F1i).P(F2h), teremos:

Cov(F1,F2) = (100-98)[(200-177) x 0,8 x 0,6 + (150-177) x0,8 x 0,3 + (120-177) x 0,8 x 0,1] + (90-98)[(200-177) x 0,2 x 0,6+(150-177) x 0,2 x 0,3 + (150-177) x 0,2 x 0,3 + (120-177) x 0,2 x 0,1]

Cov(F1, F2) = 2 x [0] + (-8) x [0]

Cov(F1,F2) = 0

Isto não quer dizer que exista independência das variáveis aleatórias F1 e F2, mas, sim, deve ser entendido como uma evidência do fato.