A duração é bastante utilizada para se medir a sensibilidade do preço do título às variações da taxa de juros. Partindo de um exemplo de um título de 10 anos com preço de R$ 100,00 e taxa de cupom de 15%, pode-se construir a seguinte tabela:

Preço (R$ 1,00)
Yield to maturity (%)
130
10,10
120
11,53
110
13,15
100
15,00
90
17,16
80
19,73
70
22,86

O yield to maturity é obtido por meio da função TIR (taxa interna de retorno) aplicada ao fluxo ou por iteração segundo a equação a seguir:

Por exemplo, com o preço R$ 130,00.


= – 130=[15/(1+r)] + [15/(1+r)2] + [15/(1+r)3] + [15/(1+r)4] + [15/(1+r)5] + [15/(1+r)6] +[15/(1+r)7] +[15/(1+r)8] +[15/(1+r)9] +[115/(1+r)10]

Com isso, quando o preço do título está em seu valor par ou de face, R$ 100,00, seu yield to maturity é igual à taxa de cupom, 15%. Quando o preço sobre a R$ 110,00, o rendimento cai a 13,15%, pois o investidor paga mais do que o valor par, recebendo os mesmos R$ 15,00 de pagamento de cupom.

Inversamente, se o preço do título cai a R$ 90,00, o rendimento até a maturidade se elevará a 17,16%. Neste caso, o investimento pagou menos do que o valor par pelo mesmo fluxo financeiro. Conseqüentemente, seu rendimento será mais elevado.

A duração modificada nos fornece uma idéia da sensibilidade do preço de um título à variação na taxa de juros. Esta fórmula é obtida diferenciando-se a função valor atual da carteira (V) em relação à taxa de juros:

dV/di = [1/(1+i)] [∑(t.CFt)/(1+i)t]

Dividindo-se ambos os lados pelo valor presente do título, temos:

dV/Vdi = {-1/(1+i)V x [∑(t.CFt)/(1+i)t]} = - D/(1+i)

A razão entre a duração de Macaulay e o fator de juros (1+i) é conhecida na literatura como duração modificada. Logo:


%ΔV = - Dmod x di

Verifica-se que a variação percentual no valor da carteira é proporcional à duração modificada multiplicada pela variação percentual da taxa de juros. Em outras palavras, para pequenas variações de taxas de juros, os preços das obrigações alteram-se de maneira inversamente proporcional, de acordo com a magnitude da duração. Desta forma, um investidor que possua títulos em sua carteira e que espere uma alta na taxa de juros terá uma perda menor, quanto menor for esta duração da carteira e vice-versa.

A duração modificada, portanto, é igual ao negativo do produto entre a derivada do preço em relação à taxa de juros e o inverso do preço do título, isto é:


Dmod = dV/di x (1xV)


A duração modificada representa a mudança percentual instantânea do preço do título em relação à taxa de juros. Assim, quanto maior a duração, maior a sensibilidade do título a variações na taxa de juros, ou seja, maior o risco do título.

Utilizando os dados anteriores, a duração modificada desse título é:

Dmod = D/(1+i) = 5,77/(1+15%) = 5,02

Se o yield to maturity aumenta 1,43%, o preço do título cai de R$ 130 para R$ 120. Se o yield to maturity aumenta 1,62%, o preço cai de R$ 120 para R$ 110, e assim sucessivamente, até a variação positiva no yield to maturity de 3,14%, causando alteração no preço de R$ 80 para R$ 70. Este relacionamento não constante traz como resultado uma convexidade e é uma característica de todos os títulos de renda fixa. Esta convexidade é percebida por assumir uma forma curvilínea.


Copyright © 2006 AIEC.