3 - Cálculo da média e do desvio-padrão do VPL de um fluxo de caixa

Em algumas situações, notadamente, em sua maioria, não é necessário termos a distribuição de probabilidades da variável aleatória, mas apenas da sua média e desvio-padrão em função das variáveis conhecidas.

Assim, calculemos a média e o desvio-padrão do valor presente líquido – VPL - de um fluxo de caixa dado pela seqüência (F1, F2, F3, ..., Fn). Sabe-se que, de cada valor futuro, sua distribuição de probabilidades é dada por Fj : Dj (Fµj , Fsj).

Considerando que VPL = [F1/(1+I)+ F2/(1+I)2+...+ Fn/(1+I)n], tem-se para a média:

VPLµ = E[VPL] = E[F1/(1+I)+ F2/(1+I)2 +...+ Fn/(1+I)n]
VPLµ = (E[F1]/(1+I)) + (E[F2]/(1+I)2) +...+ (E[Fn]/(1+I)n)
VPLµ = (E[Fµ1]/(1+I))+(E[Fµ2]/(1+I)2) +...+ (E[Fµn]/(1+I)n)

ou VPLµ = ∑ Fµj /(1+I)j, com j variando de 1 a n.

Tem-se para o desvio-padrão (partindo-se do cálculo da variância):

VPL2S = S2(VPL) = S2[F1/(1+I)+F2/(1+I)2 +...+ Fn/(1+I)]


Pela propriedade da esperança matemática, que é um operador linear, a variância, que é um operador não-linear, de uma soma de variáveis aleatórias não é igual à soma das variâncias. Envolve um termo com produtos cruzados que é muito importante, pois corresponde às propriedades de diversificação das carteiras.

A variância de uma soma é igual à soma das variâncias se as duas variáveis são independentes uma da outra. Se não são independentes, a variância de uma soma das variáveis é igual à soma das variâncias dessas variáveis mais o dobro da covariância dessas variáveis.

VPL2S = S2[(F1/(1+I)] + S2[(F2/(1+I)2]+...+ S2[(Fn/(1+I)n]+2∑j<k cov[(Fj/(1+I)j, (Fk/(1+I)k]

Utilizando algebrismos e colocando-se em evidência os termos comuns (S2 e Fj), temos:

VPL2S = ∑ [1/(1+I)j]2 S2.(Fj) + 2∑j<k cov [(Fj/(1+I)j, (Fk/(1+I)k] ou
VPLS=[∑[Fsj/(1+I)j]2+2∑j<kcov[(Fj/(1+I)j,(Fk/(1+I)k]1/2

Usando as propriedades das covariâncias, temos:

VPLS= [∑[Fsj/(1+I)j]2+2∑j<k[(1/(1+I)j.(1/(1+I)k.cov(Fj,Fk)]1/2 ou
VPLS= [∑[Fsj/(1+I)j]2+2∑j<k[(1/(1+I)j+k.cov(Fj,Fk)]1/2



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