1 - Aleatoriedade dos parâmetros ou modelos estocásticos

A Matemática Financeira tem como principal objetivo o estudo do valor do dinheiro no tempo. Assim, a taxa de juros é o elo entre o futuro e o presente, independente de existir ou não a inflação. É isso que se chama a preferência intertemporal.

A Matemática Financeira possui vários detalhes quanto à forma de estudo do valor do dinheiro no tempo. Alguns conceitos são fundamentais para melhor compreendermos o objetivo da matemática financeira.

1. Risco - Quando estamos concedendo crédito, na verdade estamos analisando o risco contido nas operações de crédito. Os conceitos da Matemática Financeira serão importantes para medir o risco envolvido em várias operações de créditos. Isso vale também para as aplicações financeiras em ativos financeiros que incorporam ganhos e perdas, isto é, um risco, pois pode-se ter sucesso ou insucesso com relação ao ganho ou perda, respectivamente.

2. Prejuízo ou despesa - Em qualquer operação financeira, normalmente, ocorre o pagamento de juros, taxas, impostos etc., caracterizando-se, para alguns, como prejuízos e para outros, como pagamentos de despesas financeiras. A matemática financeira irá mostrar quanto se pagou de despesas ou medir o tamanho do prejuízo em uma operação financeira.

3. Lucro ou receita - Da mesma forma que alguém ou uma instituição paga juros e caracteriza-o como prejuízo ou despesa, quem recebe pode classificar estes juros como lucro ou receita ou simplesmente como a remuneração do capital emprestado. A matemática financeira nos ajuda a calcular este juro ou receita, bem como a remuneração do capital emprestado.

A Matemática Financeira procura desenvolver modelos de capitalização, isto quer dizer que são processos de formação do capital ao longo do tempo. Dentre esses modelos, os mais utilizados são:

• o modelo de capitalização simples ou linear;
• o modelo de capitalização composta ou exponencial.

Suponhamos um capital C aplicado a uma taxa I por um período de tempo n, ao fim do qual obtemos como montante, ou valor futuro, a quantidade F de capital: então, a formulação de cada modelo, como sabemos, é dada por:

Exemplo:

Os modelos de capitalização apresentados como formulação matemática têm a seguinte forma:

Considerando que o prazo n seja constante, pode-se estudar o efeito da aleatoriedade (não-determinístico) nas funções:

Para cada função será eleita uma das variáveis independentes, como variável aleatória, e a outra, como constante. A variável dependente será uma variável aleatória que terá determinada sua distribuição, média e desvio-padrão.

Por exemplo, considere-se a seguinte função: F= f(C,I). Fixemos o C como constante e I a variável aleatória.

Considerando I : D(I_µ ,I_s), ou seja, a variável aleatória I tem distribuição de probabilidades Dt com média I_µ , e desvio-padrão I_s.

A resolução dessa questão é determinar a distribuição da variável aleatória dependente F, valor futuro, ou seja, determinar: F : D* (F_µ , F_s)

Isto quer dizer que se deseja conhecer a distribuição D*, sua média F_µ e desvio-padrão F_s .

Após combinações para as várias possibilidades de funções e escolha das variáveis aleatórias independentes, é possível expor as seguintes situações:

1º. Caso

F = f(I), onde C é a constante, I é a variável aleatória independente e F é a variável aleatória dependente.

2º. Caso

I = f ^-1(F), onde C é a constante, F é a variável aleatória independente e I é a variável aleatória dependente. A notação f ^-1 indica que existe uma relação inversa entre F e I.

3º. Caso

C = g(F), onde I é a constante, F é a variável aleatória independente e C é a variável aleatória dependente.

4º. Caso

F = g ^-1 (C), em que I é a constante, F é a variável aleatória dependente e C é a variável aleatória independente. A notação f ^-1 indica que existe uma relação inversa entre F e C.

2 - Modelo de capitalização simples em condições de risco

O modelo de capitalização simples é:

Em que: a quantidade de capital futuro F depende do capital C, da taxa de juros I e do prazo n.

Daí, que:

A questão fundamental é determinar a distribuição da variável aleatória dependente em função da variável aleatória independente.

3 - Cálculo do valor futuro em função da variável aleatória “taxa de juros”, na capitalização simples.

Vamos considerar o 1o. caso, ou seja, onde F = f (I). Assim, F = C (1 + I.n), onde C e n são constantes e I : D(I_u , I_s), com distribuição de probabilidades conhecida.

Essa distribuição de F é dada pelos pares (F, P(F)), onde F = C(1+I.n) e P(F) = P(I)

A média e o desvio de F podem ser calculados da seguinte forma:

Média:

Desvio-padrão:

Ou

Pode-se concluir, portanto, após as substituições, que:

F = C (1+In) com F: D (F_u= C ( 1 + I_s) ; (F_s = CnI_s)

Ou seja, a quantidade de capital futuro F tem uma distribuição de probabilidades com média F_u e desvio-padrão F_s .

4 - Cálculo da taxa de juros em função do valor futuro

Podemos calcular a média da taxa de juros e o desvio-padrão da taxa de juros em função da variável aleatória quantidade de capital futuro F, assim:

F_u = C (1+ I _s . n) => I _u = [F _u /C – 1].(1/n)


F_s = CnI_s => I _s = (F_s /C.n)

Levando em consideração o 2º. Caso, tem-se:

I = f ^-1 (F), temos então que I = [(F/C) – 1].(1/n), em que o capital C e o período n são constantes e o capital futuro F é a variável aleatória. Assim, a distribuição de probabilidades definida pelo par (I, P(I)) será:

I : D {I_u = [(F_u /C) – 1].(1/n)}; I_s = (F_s / C.n), em que I _u é a média e I _s é o seu desvio-padrão.

Tomemos como exemplo um investidor, o qual deverá decidir entre duas possibilidades:

Um contrato de mútuo tem característica idêntica ao empréstimo para capital de giro, mas, por envolver prazos superiores a 180 dias, é mais exigente no que diz respeito às condições de garantias, com cláusulas mais restritivas, e exigentes para a concessão em função do maior risco, devido ao prazo.

Qual deve ser a decisão a ser tomada pelo investidor, considerando-se uma Libor de 7% ao ano?

Vejamos a seguir.

No mercado internacional em geral, o modelo de capitalização para esse tipo de operação é o de juros simples. Vamos admitir a existência de três cenários para os próximos 180 dias da aplicação financeira.

1º. Cenário (C1) - A Libor é de 9,5% ao ano, em função de uma recessão na Europa.

2º. Cenário (C2) - A Libor está estável em 7% ao ano, em razão do nível de atividade econômica se manter constante.

3º. Cenário (C3) - A Libor reduzirá para 6% ao ano, em razão da grande oferta de recursos financeiros no mercado europeu nos 180 dias.

A partir da definição desses cenários, o investidor deve estabelecer a distribuição de probabilidades.

Calculando o valor futuro para cada taxa Libor, temos:

a) Quando a Libor é de 9,5% ao ano, então:

I = 9,5 + 2,25% = 11,75% ao ano.
F = [C(1+(Ixn)] = 1.000.000 [(1+ (0,1175 x 180/365)] = 1.057.445,29

b) Quando a Libor é de 7,0 % ao ano, então:

I = 7,0 + 2,25% = 9,25% ao ano.
F = C[(1+(I x n)] = 1.000.000 [(1+ 0,0925 x 180/365)] = 1.045.616,44

c) Quando a Libor for 6% ao ano, então:

I = 6,0 + 2,25% = 8,25% ao ano.
F = C[(1+(I x n)] = 1.000.000 [(1+ 0,0825 x 180/365)] = 1.040.684,93

Com isso, as distribuições de probabilidades da taxa I e do valor futuro F serão dadas como segue.

Calculando a média e o desvio-padrão:

Média:

E[I] = ∑ I.P(I)

I_µ = E I = 0,1175 x 0,6 + 0,0925 x 0,25 + 0,0825 x 0,15

I_µ = 0,106 ou taxa média de 10,6% ao ano.

E [ I ² ] = ∑ I².P(I)

E I ² = (0,1175)² x 0,6 + (0,0925)² x 0,25 + (0,0825)² x 0,15 = 0,0114438

O cálculo do desvio-padrão da taxa de juros será dado por:

I_s = (E I ² - I ²_µ )^1/2 = [0,0114438 – (0,106)²] = 0,01442 ou um

desvio - padrão de 1,44% ao ano.

Com relação à média e ao desvio-padrão do valor futuro F, há várias maneiras de se calcular, entretanto, calcularemos da seguinte forma:

F_µ = F ( I_µ ) = C . ( 1+ I_µ x n )

F_µ = 1.000.000 x [ 1+0,106 x (180/365)] = 1.052.273,97

Assim, a média de F será: F_µ = 1.052.273,97

Com relação ao desvio-padrão, pode-se calcular:

F_s = C x n x I_s = 1.000.000 x (180/365) = 0,0144 = 7.101,37
Logo, o desvio de F será: F_s = US$ 7.101,37.

Conclusão:

5 - Cálculo do valor presente em função da variável aleatória “valor futuro” na capitalização simples

O 3º. Caso é caracterizado pela função C = g(F), em que o valor presente do capital C é função da variável aleatória da quantidade de capital futuro F, com a taxa de juros I e o prazo n constantes.

Partindo de C = [F/(1+I.n)], onde o capital C está em função da quantidade de capital no futuro, F, e admitindo que F: D (F_µ , F_s ), pode-se determinar a variável aleatória C.

A variável aleatória C pode ser calculada partindo da fórmula acima e obtém-se a distribuição de probabilidade [C, P ( C )], onde P( C ) = P ( F ).

A média e o desvio-padrão da variável podem ser calculados a seguir:

C_µ = E [ C ] = E[F/(1+I.n)] = [1/(1+I.n)] . E [ F ] = F_µ / ( 1 + I.n)

C ²_s = S ² (C) = S ² [F / (1+I.n) = 1 / (1+I.n)² . S ² ( F ) = F ²_s / (1+I.n)² logo, o desvio de C será: C = F_s /(1+I.n)

Assim, a variável aleatória C será dada por:

C: D [ C_µ = F_µ / (1 + I.n) ; C_s = F_s /(1 + I.n ) ]

6 - Cálculo do valor futuro do capital em função do seu valor presente

Pode-se calcular o valor médio e o desvio-padrão do valor futuro em função do valor presente:

Valor Médio

C_µ = F_µ / ( 1 + I.n ) => F_µ = C_µ / ( 1 + I.n )

Desvio-padrão

C_s = F_s / ( 1 + I.n ) => F_s = C_s / ( 1 + I.n )

Como F = C = ( 1+I.n ), então, pode-se escrever a variável aleatória F como função da variável aleatória independente C, com a seguinte distribuição:

F: D ( F_µ = C_µ / ( 1 + I.n ) ; F_s = F_s / ( 1 + I.n )] , que representa o 4º. Caso, visto anteriormente, em que : F = g^-1 (C)

Acompanhe o exemplo a seguir.

Suponhamos que o investidor estrangeiro examine a possibilidade de se comprar dívidas de curto prazo vincendas de um país emergente, A, de 180 dias. Essa dívida de A é cotada no mercado internacional a US$ 0,75 e se deseja fazer uma avaliação sobre este valor. Sabe-se que as taxas de juros desses títulos do país A, no mercado de New York City, estão cotadas a 8,5% ao ano, e que os especialistas admitem os seguintes três cenários sobre essa dívida do país A para os próximos 180 dias:

• C1: o governo do país A não faz nenhum acordo sobre a dívida e nessas condições a dívida vincenda transforma-se em vencida e seu valor de mercado passa a US$ 0,25;
• C2: o governo do país A paga a dívida em moeda nacional, que podem ser convertidas com um ágio de 20%;
• C3: o governo do país A paga a dívida, no vencimento, em dólares.

Considerem-se os cenários e os valores em dólares dos títulos de hoje a 180 dias.

Assim, o valor futuro F, do título da dívida do país A, terá a seguinte média e o desvio-padrão:

Média: E [ F ] = F_µ = (0,25 x 0,1) +(0,8 x 0,85) = (1,00 x 0,05) = 0,755

Variância: E [ F ] ² = [(0,25) ² x 0,1] + [(0,8) ² x 0,85] + [(1,00) ² x 0,05] = 0,60025

Desvio-padrão: S(F) = F_s = [0,60025 – (0,755) ²] ^1/2 = 0,1738

Logo, o título do país A tem preço médio de F_µ = US$ 0,755 e F_s = 0,1738

Quando se traz para o valor presente, o preço médio e o desvio-padrão, à taxa de juros de 8,5%, têm-se:

E [ C ] = C_µ = [ F_µ = (1+I.n)] = 0,755/ (1+0,085 x 180/365) = 0,7246

S(C) = C = F / (1 + i ) = 0,1738 / (1+ 0,085 x 180/365) = 0,1668

Assim, o título do país A hoje vale, em média, US$0,7246 com desvio-padrão de US$ 0,1668, ou seja, o título do país A vale entre US$ 0,8914 e US$ 0,5578.

De acordo com a média, o investidor estrangeiro não deve adquirir este título, observando-se, no entanto, tratar-se de títulos com razoável nível de risco, conforme nos mostra o coeficiente de variação.

C = 16,68/72,46 = 0,2302, ou seja, 23,02% de desvio-padrão em relação à média.

Resumo

A Matemática Financeira tem como principal objetivo o estudo do valor do dinheiro no tempo e alguns dos seus conceitos são fundamentais para melhor compreendermos o objetivo da matemática financeira, tais como risco, prejuízo ou despesa e lucro ou receita.

A Matemática Financeira procura desenvolver modelos de capitalização (processos de formação do capital ao longo do tempo) e os mais utilizados são o modelo de capitalização simples ou linear (representado pela fórmula F = C(1+I.n)) e o modelo de capitalização composta ou exponencial (representado pela fórmula F = C(1+I)ⁿ).

Considerando que o prazo n seja constante, pode-se estudar o efeito da aleatoriedade (não-determinístico) nas funções valor futuro do capital F= f(C,I), capital C= g(F,C), e taxa de juros I=h(F,C). Assim, para cada função é eleita uma das variáveis independentes como a variável aleatória e a outra como constante. A variável dependente será uma variável aleatória que terá determinada sua distribuição, média e desvio-padrão.

No modelo de capitalização simples em condições de risco, a questão fundamental é determinar a distribuição da variável aleatória dependente em função da variável aleatória independente.

É possível calcular o valor presente em função da variável aleatória “valor futuro” na capitalização simples, bem como o valor futuro do capital em função do seu valor presente, com o cálculo do valor médio e do desvio-padrão do valor futuro em função do valor presente.

1 - Introdução

O modelo de capitalização composta é dado para o caso do:

a) Valor Futuro do Capital

b) Capital Aplicado

c) Taxa de juros

Buscaremos determinar a distribuição de probabilidades da variável aleatória dependente em função da variável aleatória independente. Assim, a solução desse problema pode ser conseguida se forem consideradas as taxas de juros no período de tempo.

Se considerarmos o prazo n como constante (isto quer dizer que não varia no tempo), então a taxa de juros I pode ser explicitada em função de uma dada taxa de juros do período, I*, ou seja:

Assim, o modelo de capitalização composta será reescrito da seguinte forma:

F = C(1+I*) , e suas derivações: C = F/(1+I*) e I* = (F/C) – 1

Nestas condições, valem as médias e desvios-padrões calculadas para a capitalização simples, considerando o prazo único.

As distribuições de probabilidades terão as formas a seguir:

Então, neste caso, a variável aleatória dependente quantidade de capital no futuro F tem a seguinte distribuição de probabilidades com média e desvio-padrão:

F : D(F_µ , F_S), onde F_µ = C(1+ I_µ*) e F_S = C.I_s*

Então, neste caso, a variável aleatória dependente taxa de juros I* tem a seguinte distribuição de probabilidades com média e desvio-padrão:

I*:D(I_µ* , I_s*) com I_µ* = (F_µ/C) –1 e I_s* = F_S/C

Então, neste caso, a variável aleatória dependente capital aplicado C tem a seguinte distribuição de probabilidades com média e desvio-padrão:

C:D(C_µ , C_s) com C_µ= F_µ/(1+ I*) e C_s = F_s/(1+ I*)

Então, neste caso, a variável aleatória dependente quantidade de capital no futuro F tem a seguinte distribuição de probabilidades com média e desvio-padrão:

F:D(F_µ, F_s) com F_µ = C_µ(1+ I*) e F_s = C_s.(1+ I*)

Pode-se resolver o problema de calcular o valor do capital futuro F em função da variável aleatória taxa de juros I, na capitalização composta ou exponencial.

Daí, pode-se observar que não é possível calcularmos a média e o desvio-padrão em função da média I_µe desvio-padrão I_s. Tem-se, portanto, que calcular a média e o desvio-padrão da função Z=(1+I)ⁿ, que é conhecida como variável reduzida em Estatística.

I = (F/C)^n-1-1, sendo o capital aplicado C e n constantes e a variável aleatória capital futuro F tendo a seguinte distribuição de probabilidades F:D(F_µ,F_s).

A variável aleatória I terá uma distribuição de probabilidades dada pelos pares (I,P(I)),onde P(I) = P(F), com a média e o desvio-padrão calculados, a partir de substituições, a seguir:

Média: (I_µ)=E(I) = E[(F/C)^1/n-1]= E[(F/C)^1/n]-1

Variância: (I_S2)= S²(I)= S²[(F/C)^1/n-1]= S²[(F/C)^1/n]

Desvio-padrão: I_S= { S²[(F/C)^1/n]}^1/2

Para resolver essa questão para a média I_µ e o desvio-padrão I_S da variável aleatória taxa de juros I, já foi visto que é necessário considerar a função Z=(F/C)^1/n, na qual a média e o desvio padrão da variável Z é:

Média- E(Z)=∑Z_j.P(Z_j) =∑(F_j/C)^1/n.P(F_j)

Variância: E(Z²)=∑_j².P(Z_j) =∑_[(F_j/C)^1/n]².P(F_j)

Desvio-padrão: [E(Z²)]^1/2= {∑_[(F_j/C)^1/n]².P(F_j)}^1/2

Suponhamos que se queira fazer uma aplicação em um fundo de investimento no valor de R$ 1.000.000,00 por seis meses. Existe uma tabela que mostra os cenários possíveis de taxas de juros e as probabilidades associadas pelo grupo dos gestores que tomam a decisão, a seguir:

Assim, deseja-se analisar os riscos envolvidos no resgate dessa operação.

A solução, portanto, é:

Calcular a média e o desvio-padrão da quantidade de capital no futuro, F, considerando-se n=6.

A média, como se sabe, é dada por: F_µ = C.E[(1+I)ⁿ]

A variância, como se sabe, é dada por: F_S²= C² S²[C(1+I)ⁿ]

E o desvio-padrão, como se sabe, é dado pela raiz quadrada da variância, que é dada por:

F_S={C² S²[C(1+I)ⁿ]}^1/2 .

Taxa de juros I (% ao mês)	Probabilidade P(I)	(1+I) 6	Z.P(I)	Z 2 .P(I)
3,0	0,4	1,1941	0,4776	0,5704
1,0	0,35	1,0615	0,3715	0,3937
-2,0%	0,25	0,8858	0,2215	0,1962
			1,0706	1,1603

 

E[Z] = E[(1+i)6 = E[(e+I) 6 = 1,0706
E(Z 2) = E[E[(e+I) 6] = 1,11603

Como Fs = C ; S(1+I)=C.S(Z), então:

Fs = C.S[(1+ I )ⁿ] = C.S(Z), logo: Fs = C.[E[Z²] – (E[Z])²]

Após substituições, temos:

Fs = R$ 10.000 [(1,11603 – 1,0706 x 1,0706)] = R$ 118.809,25

Calculando a média e o desvio-padrão por outro método, encontrou-se:

Fm = C.E[Z] = R = R$ 1.000.000,00 x 1,0706 = R$ 1.070.600,00, com desvio-padrão de R$ 118.809,25. Isto quer dizer, portanto, que a aplicação financeira desse fundo de investimento de R$ 1.000.000,00 em seis meses, dados os cenários prováveis e suas respectivas probabilidades, terá um retorno médio de R$ 1.070.600,00, compreendido entre uma rentabilidade mínima de R$ 951.790,75 e uma máxima de R$1.189.409,25.

Agora, estudaremos o caso em que o capital presente C é função do capital futuro F, no âmbito da capitalização composta ou exponencial (importante para os pagamentos por períodos diários, semanais, mensais, trimestrais ou semestrais), pois já foi visto anteriormente sob a capitalização simples ou linear, que somente serve quando o pagamento ou recebimento é feito no final do período: C = [F/(1+I)ⁿ]

Como tratamos que I e n são considerados constantes, em razão da aleatoriedade ou incerteza, o capital futuro F tem uma distribuição de probabilidades com média e desvio-padrão F:D(F_µ ,F_s).

A distribuição de probabilidades do capital atual C será dada pelos pares (C, P(C)), onde a probabilidade do capital presente será igual a do capital futuro F, ou seja, P(C) = P(F).

A média e o desvio-padrão do capital presente C são calculados da seguinte forma:

Média: (C_µ)=E(C) = E[(F/(1+I)ⁿ]= 1/(1+I)ⁿ.E[F]= F_µ/(1+I)ⁿ

Variância: (C_s²)= S²(C)= S²[(F/(1+I)ⁿ]= [(1/(1+I)ⁿ]².S² (F)=S²[(1/(1+I)ⁿ] F_s²

Desvio-padrão: C_s= F_s .1/(1+I)ⁿ

Com isso, a distribuição de probabilidades do capital presente C, com a média e o desvio-padrão será dada por: C: D[C_µ= F_µ/(1+I)ⁿ, C_s = F_s /(1+I)ⁿ].

Considerando que a variável aleatória capital presente C tem a seguinte distribuição de probabilidades com média e desvio-padrão: C: D(C_µ ,C_s)
E considerando que: F = C./(1+I)ⁿ

Com I e n constantes ou invariáveis no período de tempo, pode-se obter a variável aleatória capital futuro F com média e desvio-padrão dado por:
F_µ= C_µ/(1+I)ⁿ e F_s= C_s .(1+I)ⁿ

Assim, temos que: F : D(F_µ=C_µ(1+ I)ⁿ F_s = C_s (1+ I)ⁿ)

Vejamos um exemplo:

Suponhamos que uma dada operação de crédito de R$ 1,0 milhão, de um dado banco para financiar um projeto econômico-financeiro de uma dada empresa em cinco meses, tem os seguintes valores estimados de retorno desse empréstimo de acordo com possíveis cenários da economia com as respectivas probabilidades decididas pelo comitê de crédito do banco:

O comitê de crédito do banco também decidiu que a taxa mínima de retorno desse empréstimo deve ser de 1,7% ao mês.

Para obter a solução, deve-se elaborar a distribuição de probabilidades do valor presente do capital futuro (F), calculando sua média F_µe seu desvio-padrão F_s.

Cenários	F (R$)	P(F)	F.P(F)	F 2 .P(F)
C1	1.000.000,00	0,60	600.000,00	6 x 10 11
C2	920.000,00	0,20	184.000,00	1,6928 x 10 11
C3	850.000,00	0,15	127.500,00	1,0838 x 10 11
C4	700.000,00	0,05	35.000,00	0,245 x 10 11
			946.500,00	9,0216 x 10 11

Aí temos que a média F_µ= R$ 946.500,00 e o desvio-padrão: F_s = [9,0216 x 1011 – (R$ 946.500,00)2]^1/2 = 0,62978 x 10⁵ ou seja, o desvio-padrão F_s = R$ 62.978,00.

Os valores médios e desvio-padrão dos empréstimos obtidos para o valor futuro podem ser trazidos para o valor presente, relembrando que a taxa mínima de atratividade é de 1,7% ao mês, e que o projeto tem vida útil de cinco meses.

Média: C_µ= F_µ(1+ I)ⁿ= R$ 946.500,00 (1+0,017)⁵ = R$ 869.993,19

Desvio-padrão: C_s= F_s(1+ I)ⁿ = R$ 62.978,00 (1+0,017)⁵ = R$ 57.887,40

Temos, assim, que o valor presente dos empréstimos concedidos para serem pagos em cinco meses, admitindo aquelas probabilidades e cenários sugeridos, será em termos médios de R$ 869.993,19, podendo ter, como mínimo, o valor de:
R$ 869.993,19 – R$57.887,40 = R$ 812.105,79, e como máximo, o valor de:
R$ 869.993,19 + R$57.887,40 = R$ 927.880,59.

Ou seja, C: D[C_µ = R$ 869.993,19, C_s = R$ 57.887,40]

É possível calcular probabilisticamente o risco de uma aplicação financeira ou uma operação de crédito, com base em cenários e probabilidades sugeridos, utilizando basicamente a capitalização composta, que é aquela que considera a incidência da taxa de juros período por período e não somente no final do período, como é o caso da capitalização simples.

Para isso, utilizam-se as equações que definem as variáveis aleatórias independentes e dependentes: capital aplicado inicialmente C, taxa de juros I, período de tempo n, e capital futuro F.

Para se determinar a distribuição de probabilidades da variável aleatória dependente em função da variável aleatória independente é necessário considerar as taxas de juros no período de tempo.

Para demonstrar esse modelo, foram utilizados os mesmos casos ou situações apresentadas na capitalização simples com o artifício de considerar o prazo como constante ou invariável, ou seja, o capital futuro F em função do capital aplicado inicialmente C; a taxa de juros I em função do capital futuro F; o capital aplicado inicialmente C em função do capital futuro F; e o capital futuro F em função do capital aplicado inicialmente C.

Posteriormente, foi relaxada essa hipótese de considerar o prazo como constante ou invariável, para calcular o capital futuro F em função da variável aleatória “taxa de juros” I. Neste caso, utilizou-se do auxílio da função Z=(1+I)ⁿ, para o cálculo da média e do desvio-padrão da taxa de juros I.

Há casos em que o capital presente é função do capital futuro, no âmbito da capitalização composta ou exponencial (importante para os pagamentos por períodos diários, semanais, mensais, trimestrais ou semestrais). Neste caso, calcula-se o valor presente do capital em função da variável aleatória “valor futuro do capital”, na capitalização composta.

1 - Cálculo do Valor Presente Líquido – VPL de um fluxo de caixa, em condições de risco

Considere-se um fluxo de caixa (entradas ou receitas e saídas ou despesas) dado pela seqüência de valores futuros representada por [Fj] = [F1, F2, F3, ..., Fn], em que j varia de 1 a n e onde cada valor futuro é uma variável aleatória dada pela seguinte distribuição de probabilidades:

Se tivesse que representar graficamente, poderiam ser mostradas algumas setas para as variáveis aleatórias com pontos representando o valor médio de cada valor futuro.

Se considerarmos I como a taxa de juros mínima de atratividade para ser decisão do gestor, a questão a ser resolvida nesse problema é determinar as características da variável aleatória dependente valor presente líquido – VPL.

Assim, deve-se determinar sua distribuição de probabilidades, com média (VPL_µ) e desvio-padrão (VPL_S).

2 - Determinação da distribuição de probabilidade da variável aleatória VPL

a) Distribuição de Probabilidades

Considerando-se o valor futuro F de uma seqüência de fluxos de caixa (receitas e despesas) [F1,F2,F3, ..., Fn] é uma variável aleatória conhecida, dada por:

Para se determinar a distribuição de probabilidades do valor presente líquido é necessário passar pela obtenção de todos os possíveis pares (VPLj, P(VPLj)), em que P(VPLj) = P (F1, F2, ..., Fn), ou seja, descobrir a probabilidade de cada VPLj, que é dada por uma probabilidade conjunta de n variáveis aleatórias.

Para uma melhor compreensão, acompanhe o exemplo a seguir.

Vamos considerar que existe uma série de fluxos de caixa (receitas e despesas) de um projeto econômico-financeiro de uma dada empresa em dois anos, considerando uma taxa de retorno de 10% ao ano. Qual é o risco de não se concretizar esse retorno médio?

As distribuições de probabilidades de F1 e F2 são apresentadas na seguinte tabela:

A distribuição de F1 tem k1=2 elementos e a de F2 tem k2=3 elementos. Então, a distribuição do VPL terá t = k1.k2 = 2x3 = 6 elementos.

A determinação da distribuição (VPL, P(VPL)) significa ou equivale a resolver seis possíveis fluxos de caixa e calcular a probabilidade de ocorrência de cada fluxo de caixa. Então teremos que usar os seguintes pares: 100 com 200 e 90 com 200, 100 com 150 e 90 com 150, 100 com 120 e 90 com 120.

Se admitirmos que a P (Fj, Fk) = P(Fj).P(Fk), então, os fluxos de caixa possíveis serão os seguintes:

Fluxo 1

Como VPLi = ∑ F_j,kj/(1+I)^j, para j variando de 1 a n, então:

VPL1 = R$ 100.000,00/(1+0,1) + R$ 200.000,00/(1+0,1)² = R$ 90.910,00 + R$ 165.290,00 = R$ 256.200,00
Como P (Fj, Fk) = P(Fj).P(Fk), então P (VPL1) = 0,8 x 0,6 = 0,48

Fluxo 2

VPL2 = R$90.000,00/(1+0,1) + R$200.000,00/(1+0,1)² = R$ 81.820,00 + R$ 165.290,00 = R$ 247.110,00
P (VPL2) = 0,2 x 0,6 = 0,12

Fluxo 3

VPL3 = R$100.000,00/(1+0,1) + R$150.000,00/(1+0,1)² = R$ 90.910,00 + R$ 123.970,00 = R$ 214.880,00
P (VPL3) = 0,8 x 0,3 = 0,24

Fluxo 4

VPL4 = R$90.000,00/(1+0,1) + R$150.000,00/(1+0,1)² = R$ 81.820,00 + R$ 123.970,00 = R$ 205.790,00
P (VPL4) = 0,2 x 0,3 = 0,06

Fluxo 5

VPL5 = R$100.000,00/(1+0,1) + R$120.000,00/(1+0,1)² = R$ 90.910,00 + R$ 99.170,00 = R$ 190.820,00
P (VPL5) = 0,8 x 0,1 = 0,08

Fluxo 6

VPL6 = R$90.000,00/(1+0,1) + R$120.000,00/(1+0,1)² = R$ 81.820,00 + R$ 99.170,00 = R$ 180.990,00
P (VPL6) = 0,2 x 0,1 = 0,02

Temos, assim, a seguinte distribuição de probabilidades do valor presente líquido dos fluxos de caixa:

Com essas informações, é possível calcular a média, a variância e o desvio-padrão do valor presente líquido, em condições de risco dos fluxos de caixa.

3 - Cálculo da média e do desvio-padrão do VPL de um fluxo de caixa

Em algumas situações, notadamente, em sua maioria, não é necessário termos a distribuição de probabilidades da variável aleatória, mas apenas da sua média e desvio-padrão em função das variáveis conhecidas.

Assim, calculemos a média e o desvio-padrão do valor presente líquido – VPL - de um fluxo de caixa dado pela seqüência (F1, F2, F3, ..., Fn). Sabe-se que, de cada valor futuro, sua distribuição de probabilidades é dada por Fj : Dj (F_µj , F_sj).

Considerando que VPL = [F1/(1+I)+ F2/(1+I)²+...+ Fn/(1+I)ⁿ], tem-se para a média:

VPL_µ = E[VPL] = E[F1/(1+I)+ F2/(1+I)² +...+ Fn/(1+I)ⁿ]
VPL_µ = (E[F1]/(1+I)) + (E[F2]/(1+I)²) +...+ (E[Fn]/(1+I)ⁿ)
VPL_µ = (E[Fµ1]/(1+I))+(E[Fµ2]/(1+I)²) +...+ (E[Fµn]/(1+I)ⁿ)

ou VPL_µ = ∑ F_µj /(1+I)^j, com j variando de 1 a n.

Tem-se para o desvio-padrão (partindo-se do cálculo da variância):

VPL²_S = S²(VPL) = S²[F1/(1+I)+F2/(1+I)² +...+ Fn/(1+I)]

A variância de uma soma é igual à soma das variâncias se as duas variáveis são independentes uma da outra. Se não são independentes, a variância de uma soma das variáveis é igual à soma das variâncias dessas variáveis mais o dobro da covariância dessas variáveis.

VPL²S = S²[(F1/(1+I)] + S²[(F2/(1+I)²]+...+ S²[(Fn/(1+I)ⁿ]+2∑_j<k cov[(Fj/(1+I)^j, (Fk/(1+I)^k]

Utilizando algebrismos e colocando-se em evidência os termos comuns (S² e Fj), temos:

VPL²S = ∑ [1/(1+I)^j]² S².(Fj) + 2∑_j<k cov [(Fj/(1+I)^j, (Fk/(1+I)^k] ou
VPL_S=[∑[Fsj/(1+I)^j]²+2∑_j<kcov[(Fj/(1+I)^j,(Fk/(1+I)^k]^1/2

Usando as propriedades das covariâncias, temos:

VPL_S= [∑[Fsj/(1+I)^j]²+2∑_j<k[(1/(1+I)^j.(1/(1+I)^k.cov(Fj,Fk)]^1/2 ou
VPL_S= [∑[Fsj/(1+I)^j]²+2∑_j<k[(1/(1+I)^j+k.cov(Fj,Fk)]^1/2

Acompanhe o exemplo a seguir.

Vamos considerar que existe uma série de fluxos de caixa (receitas e despesas) de um projeto econômico-financeiro de uma dada empresa em dois anos, considerando uma taxa de retorno de 10% ao ano. Qual é o risco de não se concretizar esse retorno médio?

As distribuições de probabilidades de F1 e F2 são apresentadas na seguinte tabela:

As médias e os desvios-padrões podem ser calculados da seguinte forma:

Fµ1 = E[F1] = (100 x 0,80) + (90 x 0,20) = R$ 98 mil

E[F1²] = (1002 x 0,80) + (902 x 0,20) = 9.620

Fµ2 = E[F2] = (200 x 0,60) + (150 x 0,30) + (120 x 0,10) = R$ 177 mil

E[F2²] = (200² x 0,60) + (150² x 0,30) + (120² x 0,10 = 32.190

Es₁=[E[F1²] - E[F1]²]^1/2= (9.620-98²) ^1/2= 4

Es₂= [E[F2² ] - E[F2]²] ^½= (32.190-177²) ^1/2= 29,34

Assim, temos o seguinte:

A média do primeiro fluxo de caixa sob risco é R$ 98 mil e o desvio-padrão é R$ 4,0 mil. Isto quer dizer que o fluxo de caixa médio pode variar entre R$ 94 mil e R$ 102 mil.

E a média do segundo fluxo de caixa sob risco é R$ 177 mil e o desvio-padrão é R$ 29.340,00. Isto quer dizer que o fluxo de caixa médio pode variar entre R$ 147.660,00 e R$ 206.340,00.

Para calcular a média do VPL faz-se:

VPL_µ= F_µ1 /(1+I)^j + F_µ2 /(1+I)^j = [98/(1+0,1)¹+ [177/(1+0,1)² = VPLµ= R$ 235.370,00, que é idêntico ao obtido anteriormente, por meio da distribuição do VPL.

E, para calcular o desvio-padrão do VPL faz-se:

VPL_S= [∑[Fsj/(1+I)^j]²+2∑_j<k[(1/(1+I)^j+k.cov(Fj,Fk)]^1/2 que é igual a:

∑[(Fsj/(1+I)^j]²=[(Fs1/(1+I)¹]²+ [(Fs2/(1+I)²]²= [4/(1+0,1)]² + [29,34/(1+0,1)²]² = 601,19

Com relação ao segundo somatório, reduz-se a única parcela, dado que j=1 e k=2. Assim, tem-se:

[1/(1+I)]¹ + [1/(1+I)²].cov(F1, F2)

Se fossem três distribuições: F1, F2, e F3, o somatório teria o seguinte desenvolvimento:

[1/(1+I)]¹ + [1/(1+I)²].cov(F1,F2) + [1/(1+I)]¹ + 1/(1+I)²].cov(F1,F3) + [1/(1+I)]² + [1/(1+I)³].cov(F2, F3)

Como a taxa de juros I é igual a 10% ao ano, somente é necessário calcular a cov(F1, F2). Aí é necessário calcular as probabilidades conjuntas P(F1, F2), o que provoca um enorme esforço.

Calculando a cov (F1, F2), teremos:

Cov (F1, F2) = ∑∑ (F1i – Fµ1) (F2h – Fµ2).P(F1i, F2h), com o primeiro somatório variando de 1 a 2 e o outro, variando de 1 a 3, ou seja:

Cov (F1, F2) = [(F11 – Fµ1)(F21 – Fµ2).P(F11, F22) + (F11 – Fµ1)(F22 – Fµ2).P(F11, F22) + (F11 – Fµ1)(F23 – Fµ2).P(F11, F23)+(F12 – Fµ1)(F21 – Fµ2).P(F12, F21) + (F12 – Fµ1)(F22 – Fµ2).P(F12, F22) +(F12 – Fµ1)(F23 – Fµ2).P(F12, F23)

Como P(F1i, F2h) = P(F1i).P(F2h), teremos:

Cov(F1,F2) = (100-98)[(200-177) x 0,8 x 0,6 + (150-177) x0,8 x 0,3 + (120-177) x 0,8 x 0,1] + (90-98)[(200-177) x 0,2 x 0,6+(150-177) x 0,2 x 0,3 + (150-177) x 0,2 x 0,3 + (120-177) x 0,2 x 0,1]

Cov(F1, F2) = 2 x [0] + (-8) x [0]

Cov(F1,F2) = 0

Isto não quer dizer que exista independência das variáveis aleatórias F1 e F2, mas, sim, deve ser entendido como uma evidência do fato.

Neste caso, P(F1,F2) = P(F1).P(F2) para todos os valores das distribuições. Então, as variáveis F1 e F2 são independentes e, nestas condições, a cov (F1,F2)=0.

Na maioria dos casos, as variáveis aleatórias, que fazem parte do fluxo de caixa, serão variáveis independentes e é importante esse reconhecimento, pois fica eliminado o cálculo das covariâncias.

Recomenda-se a observação desse reconhecimento na obtenção das distribuições de probabilidades das variáveis aleatórias do fluxo de caixa.

No caso de se observar a dependência de uma das variáveis com relação à ocorrência de outra variável, pode-se fazer a seguinte notação:

P(F1,F2) = P(F1).P(F2/F1), com P(F2/F1) # P(F2), para alguns dos valores de F1 e F2.

E no caso de independência: P(F1/F2)=P(F1) e P(F2/F1)=P(F2)

Conclusão:

VPLs = (601,19)^1/2 = 24,51

Isto quer dizer que o valor presente líquido, sob risco, tem média de R$ 235.370 mil e o desvio-padrão de R$ 24.510,00, com isso, o valor médio do fluxo de caixa varia de R$ 210.860,00 a R$ 259.880,00.

Vamos aproveitar esse exercício (já feito anteriormente), que supõe uma estimativa de fluxo de caixa (receitas e despesas) de um dado projeto econômico-financeiro de uma empresa, a qual recebe os empréstimos de um banco para cinco anos e com uma taxa de retorno desejada de 10% ao ano. Para tal, observe a distribuição de probabilidades abaixo

Os desvios-padrões calculados e obtidos anteriormente para as variáveis aleatórias F1 e F2 foram: F_S1 = 4 e F_S2 = 29,34

Como precisamos desses cálculos, já feitos anteriormente, vamos repetir:

∑[(Fsj/(1+I)^j]²=[(Fs1/(1+I)¹]²+ [(Fs2/(1+I)²]²= [4/(1+0,1)]² + [29,34/(1+0,1)²]² = 601,19

Nessas condições, o limitante do VPL_S a ser calculado, após as substituições dos valores, será:

VPL_S ≤ {[601,19 + 2. [4/(1+0,1)].[29,34/(1+0,1)²]}^0,5 = (601,19+176,36)^0,5 = 27,884 ou seja, VPL_S ≤ 27,884.

Como já foi estudado, o desvio-padrão VPLS encontrado anteriormente (24,44) foi bem distante do valor acima. O que importa, portanto, é saber se aceitamos ou não o nível de risco indicado por essa diferença do desvio, o que deverá ser avaliado caso a caso. Isso faz parte da gestão do risco.

5 - Fluxos de caixa com valores futuros independentes

Vejamos o caso de fluxos de caixa {F1, F2,..., Fn} formado de variáveis aleatórias independentes. Temos as expressões da média e desvio-padrão da seguinte forma:

Média:

VPLµ = ∑_j=1 [(F?i/(1+I)^j

Desvio-padrão:

VPL_S = {∑_j=1 [(FSi/(1+I)^j]²} ^0,5

Para comprovar isso, basta lembrar que, por definição , F1, F2,..., Fn são independentes se, e somente se, são independentes duas a duas, três a três, ...., n-1 a n-1.

Como já foi comentado, duas variáveis Fj e Fk são independentes se, e somente se, P(Fj,Fk) = P(Fj).P(Fk), para todos os pares de valores das variáveis, o mesmo valendo para as demais combinações.

VPL_S = {[∑_j=1 [(F_Si/(1+I)^j]² + 2.[∑_j<k 1/(1+I)^j+k. cov(Fj, Fk)]}^0,5

Acompanhe o seguinte exemplo.

Consideremos o fluxo de caixa em 4 anos, dado por uma série uniforme (receitas e despesas iguais no período) com a taxa de juros de 10% ao ano.

Considere-se a seguinte distribuição de probabilidades.

Então, temos para a média e desvio-padrão, o seguinte:

F_µ = E[F] = (R$100.000 x 0,9) + (R$80.000 x 0,7) + (R$20.000 x 0,03) = R$ 96.200

A variância será:

E[F²] = (R$100.000² x 0,9) + (R$80.000² x 0,07) + (R$20.000² x 0,03) = R$9.000.000 + R$448.000 + R$12.000 = R$ 9.460.000

F_S = {E[F²] - E[F] ²}^0,5= [R$9.460.000 – (R$96.200)² = R$ 14.340

Calculando a média do valor presente e o desvio-padrão da série uniforme, tem-se:

Média:

VPL_µ = F_µ .{[(1+I)ⁿ – 1]/I.(1+I)ⁿ} = R$ 96.200 x [(1+0,1)⁴ – 1 / [0,1x(1+0,1) ⁴ ] = R$ 304.940

Desvio-padrão:

VPLs = Fs.{[(1+I)²ⁿ – 1]/[(1+I)²-1).(1+I)²ⁿ]+[(2/I)∑j= [(1+I)^n-1-1]/(1+I)^n+j}^0,5
R$14.340 {2,54 + [(2/0,1) x 0,375}^0,5 = R$ 45.440

Conclusão:

A série uniforme apresenta valor presente com:

Isto quer dizer, portanto, que em condições de risco, considerando uma distribuição de probabilidades, os fluxos de caixa em valor presente líquido de uma série uniforme de um projeto econômico-financeiro, em 4 anos, têm retorno médio de R$ 309.940,00, compreendidos no intervalo entre R$ 264.500,00 e R$ 349.780,00.

Resumo

No cálculo da média e do desvio padrão no valor presente líquido dos fluxos de caixa, em condições de risco, o valor futuro é tratado como uma variável aleatória com dada distribuição de probabilidades. Considerou-se uma dada taxa de juros mínima de atratividade para ser decisão do gestor dos investimentos, e a questão a ser resolvida foi determinar as características da variável aleatória dependente valor presente líquido – VPL.

Para se determinar a distribuição de probabilidades do VPL é necessário descobrir a probabilidade dos possíveis pares de VPLj, conhecida como probabilidade conjunta. No exemplo trabalhado, foram consideradas situações em que não era necessário ter-se a distribuição de probabilidades da variável aleatória, mas tão-somente conhecer a média e o desvio-padrão em função das variáveis conhecidas.

Foram consideradas situações dos fluxos de caixa do VPL quando as variáveis são dependentes e independentes, introduzindo-se as propriedades da esperança matemática e das covariâncias. Para evitar os complicados e trabalhosos cálculos das covariâncias, pôde-se estabelecer um limitante para os mesmos, bem como para os VPLs.

Analisou-se o caso especial dos fluxos de caixa com valores futuros independentes, calculando-se a média e o desvio-padrão, mostrando que a média é igual ao caso dos valores dependentes, mas que o desvio-padrão difere em função da existência da covariância, pois, quando as variáveis são independentes, não existe a covariância (ou esta é igual a zero).

Finalmente, considerou-se o caso de uma série uniforme aleatória de fluxos de caixa, calculando-se a média e o desvio-padrão do capital futuro F e, posteriormente, o seu valor presente.

Acompanhe o exemplo a seguir.

Suponhamos que um cliente faça uma aplicação de R$ 100 mil em Certificado de Depósito Bancário – CDB ou depósito a prazo por um prazo de 31 dias, a uma taxa de 38% ao ano. As opções que se revelam são: o recebimento parcial ou total da aplicação vai depender de o banco falir ou não.

A questão fundamental a ser considerada é que o cliente pode receber o valor F da aplicação no resgate ou não (zero), no caso da quebra do banco. Situação típica de uma distribuição de Bernoulli. Se imaginarmos que existe uma probabilidade de 98% de sucesso para o resgate, então, observa-se o seguinte:

O objetivo é evidenciar o prêmio que os bancos estão dispostos a pagar para conseguir captar, por exemplo, via CDB, os recursos financeiros de seus clientes. Parte-se da premissa de que quanto maior foi este prêmio, maior será o risco representado pelo banco. Deve-se assinalar que esse critério terá mais legitimidade se for considerado de forma conjunta com outros critérios, tais como patrimônio do banco, volume de operações e qualidade das mesmas.

Inicialmente, faz-se levantamento das taxas de juros pagas pelos bancos de 1a. linha para os CDB com prazo médio de 30 dias e faça-se a comparação dessas taxas com as dos demais bancos.

Como o risco bancário desses bancos de primeira linha são os mais baixos do mercado, indica-se essa taxa como risco zero. Um investidor ganhará um prêmio, acréscimo de taxa, ao aplicar seus recursos em um banco que não seja de primeiríssima linha.

Para a utilização desse critério, é necessário coletar diariamente as taxas de juros de todos os bancos, para CDB de 30 dias. Usando a notação i_o para a taxa de juros de risco zero, dada pela média das taxas de juros dos bancos de primeiríssima linha, e indicando por i a taxa de juros dos demais bancos, pode-se calcular o prêmio (s), ou seja, o acréscimo da taxa de juros para cada banco em relação aos bancos e risco zero.

Como já foi visto, o resgate de uma aplicação financeira pode ser caracterizado por uma distribuição de Bernoulli, ou seja, o resgate do título é feito com o valor contratado ou não, podendo receber zero de resgate. Essa probabilidade de resgate zero é que caracteriza os problemas de liquidez do banco, sua credibilidade e, portanto, o risco, cujo efeito se quer captar.

Média

E[R] = (R x p) + (0 x q) = R x p
E[R²] = (R² x p] + (0² x q) = R² x p

Desvio-padrão

S[R]=E[R²]+(E[R])² = [(R² x p) + (R² x p²)]^0,5 = R(p x q)^0,5

Cada banco teria sua distribuição de probabilidades e o risco estaria evidenciado pela probabilidade q de ocorrer o resgate zero, o que iria diferenciar um banco do outro, ou seja, pode ser atribuído um rating (conceito ou nota).

Com relação aos bancos de primeiríssima linha, ou seja, de risco zero, pode-se admitir que a probabilidade de resgate zero é nula (q = 0). Nessas condições, a distribuição de probabilidades dos bancos de risco zero pode ser dada por:

Assim, temos a média dos resgates como E [R_o] = R_o, com desvio-padrão S(R_o)=0.

Partindo do princípio de que E [R] = E [R_o], indicando por A o valor captado pelo banco em estudo e pelos bancos de risco zero, por um prazo de d dias e taxas anuais, tem-se:

R = A(1+i)^d/360 e R_o (1+i_o)^d/360

Em que i é a taxa de juros de captação do banco em estudo e i_o é a taxa de juros dos CDB dos bancos de risco zero.

Considerando que E[R] = R x p , então: E[R] = A(1+i)^d/360 x p

Assim, E[R_o] = A(1+ i_o)^d/360 x p

Igualando, tem-se:

A(1+i)^d/360 x p = A(1+ i_o)^d/360 x p

O valor de p é: p = [(1+ i_o)/ (1+ i)]^d/360

Dado que (1+ i) = (1+ i_o) (1+s), então: p = [1/(1+s)]^d/360

Em que q caracteriza o risco do banco em estudo, relativo aos bancos de risco zero, implícito pelo prêmio pago nas taxas de captação.

Para dez bancos que não são de primeiríssima linha, tem-se a seguinte tabela:

A questão que se coloca é elaborar uma classificação dos bancos segundo a probabilidade de ocorrerem problemas de liquidez.

(1+ i_o)⁴ = (1+0,29) (1+0,3) (1+0,295) (1+0,31)

(1+ i_o)⁴ = 2,84494665

(1+ i_o) = 2,84494665^0,25

(1+ i_o) = 1,29872898

i_o = 29,87% ao ano

b) Os bancos de risco zero são aqueles de primeiríssima linha que apresentam taxas de juros inferiores ou iguais a i_o = 29,87% ao ano.

Vejamos os casos dos bancos BA2 e BA4:

Esses bancos têm o seguinte risco de liquidez:

q_BA2 = 1 – [(1+0,2987)/(1+0,3)]^30/360 = 1 – 0,9999 = 0,0001

q_BA4 = 1 – [(1+0,2987)/(1+0,31)]^30/360= 1 – 0,9993 = 0,0007

c) Para os bancos com os conceitos B1 a B10 pode-se calcular o valor de q considerando i0 = 29,87% ao ano.

Tipo de banco	Conceitos dos bancos	Taxa de juros de captação do CDB (30 dias) % ao ano	q (probabilidade de ocorrer não-resgate do CDB em 30 dias)	i (Variação da taxa de juros %)	q %
T1	BA1	29,0	0	-	-
T2	BA3	29,5	0	-	-
T3	BA2-B5	30,0	0.028	-	-
T4	BA4-B3	31,0	0,233	3,33	732,14
T5	B1-B10	32,0	0,433	3,22	85,84
T6	B6	33,0	0,628	3,13	45,04
T7	B2-B9	34,0	0,818	3,03	30,25
T8	B8	34,5	0,912	1,47	11,50
T9	B4	35,0	1,004	1,45	10,08
T10	B7	36,0	1,185	2,86	18,03

i corresponde ao acréscimo da taxa de captação entre uma linha e a anterior da tabela.

q % corresponde ao acréscimo de risco entre uma linha e a anterior da tabela.

É importante destacar que, para quaisquer desses níveis de taxas de juros, as medidas de risco obtidas pela probabilidade q nos dão uma escala de razão que nos permite manter a relação entre os bancos de primeiríssima linha e os demais, nos dando uma visão histórica da classificação.

Também pode acontecer que algum comitê de gestão de risco ou decisor pode definir o nível de risco que se deseja para as operações (como por exemplo: até q=0,5%) e assim poderá operar visando às melhores oportunidades.

Conclusão do método

A questão mais importante do método é permitir captar a mudança de nível de risco de um banco. Se, em uma dada semana ou dia o banco tem um q = 0,2323% e na outra, q = 0,628% de risco, existe uma boa oportunidade de arbitragem de risco. Mas, se houver aumento para q = 0,818%, significa que o mercado não entendeu as boas explicações do referido banco, o que implica em um aumento efetivo de risco do banco. Uma crítica que pode ser feita a esse método é que não se leva em consideração o tamanho do banco, dado que é um parâmetro importante para o decisor.

Caso geral

Considere-se o fluxo de caixa dado pela seqüência de valores futuros F (F1, F2, ..., Fn), em que F1, F2, ..., Fn são variáveis aleatórias com distribuição de Bernoulli.

Assim, cada valor futuro F_j , j=1, n tem distribuição da seguinte forma:

Com pj + qj =1

F_µj= F_j.p_j e Fs_j= F_j (p_j.q_j)^0,5

a) cálculo do valor presente médio do fluxo de caixa

Sabe-se que:

VPL_{µ =} ∑ F_µj/(1+I)^j, para j=1, ..., n

VPL_µ= ∑ F_j.p_j/(1+I)^j, para j=1, ..., n

b) cálculo do desvio-padrão do valor presente

Partindo da fórmula do VPLs e substituindo Fs_j = F_j (p_j.q_j)^0,5, tem-se:

{∑ [ F_j (p_j.q_j)^0,5 / (1+I)_j]² + 2∑ _j<k [-1/(1+I)^(j+k)] cov [(Fj,Fk)}^1/2

Calculando-se a cov(Fj, Fk), temos:

Cov (Fj, Fk) = E [Fj.Fk] - E[Fj] . E[Fk], onde

E[Fj] = F_µj = F_j.p_j.q_j

E[Fk] = F_µk = F_k . p_k

Então, a distribuição de probabilidade da multiplicação Fj . Fk será:

Em que se usa a notação:

P(Fj,Fk) = P(Fj) . P(Fk/Fj) = P(Fk) . P(Fj/Fk) = p_j,k

Calculando a média da multiplicação Fj.Fk, tem-se:

E[Fj,Fk] = Fj.Fk.p_j,k

Então, a covariância será dada por:

Cov(Fj,Fk) = Fj.Fk.p_j,k - F_j.p_j.F_k.p_k ou cov(Fj, Fk) = Fj.Fk.(p_j,k– pj.pk).

Substituindo na equação de VPLs, tem-se o seguinte valor do desvio-padrão:

{∑ [ F_j (p_j.q_j)^0,5 / (1+I)_j]² + 2∑ _j<k [Fj.Fk / (1+I)^(j+k)] . (p_j,k– pj.pk)}^0,5

Se p_j,k = P(Fj,Fk) = P(Fj).P(Fk)=pj.pk, para qualquer par j, k, ou se Fj e Fk são independentes, em qualquer dos casos, cov(Fj,Fk) = 0 e a expressão anterior será escrita da seguinte forma:

Suponhamos que uma empresa tenha contas a receber durante quatro meses, expressas pelo seguinte fluxo de caixa:

• No primeiro mês, recebimento de R$ 100 mil.
• No segundo mês, recebimento de R$ 175 mil.
• No terceiro mês, recebimento de R$ 200 mil.
• No último mês, recebimento de R$ 210 mil.

Esses fluxos de caixa são formados por recursos financeiros de contas a receber de clientes que a empresa financiou.

Sabe-se que as distribuições de probabilidades estabelecidas pela empresa, em função de sua experiência com o pagamento da clientela (sucesso/adimplência e insucesso/inadimplência), são as seguintes:

Ficaram estabelecidas pela empresa as seguintes probabilidades condicionadas:

p1,2 = P(F1) . P(F2/F1) = 98% ou 0,98
p1,3 = P(F1) . P(F3/F1) = 97,5% ou 0,975
p1,4 = P(F1) . P(F4/F1) = 97% ou 0,97
p2,3 = P(F2) . P(F3/F2) = 97% ou 0,97
p2,4 = P(F2) . P(F4/F2) = 96% ou 0,96
p3,4 = P(F3) . P(F4/F3) = 96% ou 0,96

Caso admitamos que a taxa preferencial de juros esteja na faixa de I = 8,9% ao mês, e que se manterá para os próximos quatro meses, pretende-se discutir qual será o valor da máxima taxa de juros que a empresa deve pagar para tornar líquido o fluxo de caixa hoje.

a) Cálculo das médias e desvios-padrões de cada valor futuro

Sabe-se que F_µj= F_j.p_j e Fs_j= F_j (p_j.q_j)^0,5

Logo, as médias são:

F_µ1 = F₁.p₁ = 100x0,99= 99,0
F_µ2 = F₂.p₂ = 175x0,98= 171,5
F_µ3 = F₃.p₃ = 200x0,98= 196,0
F_µ4 = F₄.p₄ = 210x0,97= 203,7

Logo, os desvios-padrões são:

Fs₁ = F₁ (p₁.q₁)^0,5 = 100 x (0,99x0,01)^0,5 = 9,95
Fs₂ = F₂ (p₂.q₂)^0,5 = 175 x (0,98x0,02)^0,5 = 24,5
Fs₃ = F₃ (p₃.q₃)^0,5 = 200 x (0,98x0,02)^0,5 = 28,0
Fs₄ = F₄ (p₄.q₄)^0,5 = 210 x (0,97x0,03)^0,5 = 35,82

b) Cálculo do VPL_µ considerando uma taxa de juros preferencial de 8,9% ao mês

VPL_{µ =} ∑ F_µj/(1+I)^j, para j=1, ..., n

Então,

VPL_µ = 99,0 / (1+0,089) + 171,50 / (1+0,089)² + 196,0 / (1+0,089)³ + 203,7 / (1+0,089)⁴ = 90,91 + 144,61 + 151,77 + 144,84 = 532,13

Resolvendo o primeiro somatório da fórmula VPLs:

[9,95 / (1+0,089)]² + [24,5/(1+0,089)²]² + [28,0/(1+0,089)³]² + [35,82/(1+0,089)⁴]² = 83,48 + 426,8 + 470,06 + 648,68 = 1.629,02

Resolvendo o segundo somatório da fórmula VPLs:

[100 x 175/(1+0,089)]¹⁺² [0,98 - (0,99 x 0,98) + [100 x 200/(1 + 0,089)]¹⁺³ [0,975 - (0,99x0,98) + [100x210/(1+0,089)]¹⁺⁴ [0,97 - (0,99x0,97) + [175x200/(1+0,089)]²⁺³ [0,97-(0,98x0,98) + [175x210/(1+0,089)]²⁺⁴ [0,96 - (0,98x0,97) + [200x210/(1+0,089)]³⁺⁴ [0,96-(0,98x0,97).

Assim, tem-se:

∑ _j>k = 132,8 + 68,26 + 133,00 + 219,38 + 207,12 + 217,36 = 977,92

Aplicando a fórmula, obtém-se:

VPLs = [1.629,02 + (2x977,92)]^0,5 = 59,87

Conclusão

O fluxo de caixa com variáveis aleatórias que tem média do valor presente líquido igual a R$ 532,13 e desvio-padrão de R$ 59,87, considerado como solução do problema a uma taxa de juros de 14,87% que considera o valor de face dos créditos é de

Assim, calculando a taxa interna de retorno, por tentativas sucessivas dos fluxos de caixa, ou seja, utilizando a planilha do Excel, obtém-se uma taxa de juros de 14,87%, como aquela que iguala os valores futuros dos fluxos de caixa de R$100, R$ 175, R$ 200 e R$ 210 ao valor presente de R$ 472,26.

R$99,00, R$171,50, R$ 196,00, e R$ 203,50.

Utilizando o cálculo da taxa interna de retorno, consegue-se uma taxa de juros de 13,92% ao mês, para o caso de ocorrerem as médias dos valores futuros.

O caso limite, do ponto de vista do aplicador, acontecerá se os resgates ocorrerem com valor médio, menos os desvios, ou seja:

R$ 99,00 - R$ 9,95 = R$ 89,05
R$ 171,50 - R$ 24,50 = R$ 147,00
R$ 196,00 - R$ 28,00 = R$ 168,00
R$ 203,50 - R$ 35,82 = R$ 167,88

E, neste caso, a taxa de juros será de 7,36% ao mês, que será inferior à taxa de 8,9% ao mês, que tinha sido arbitrada para clientes de baixo risco.

Assim, podemos representar o fluxo de valores médios, da seguinte forma:

R$ 99,00 R$ 171,50, R$196,00, e 203,50 e obtermos para um valor presente líquido de R$ 532,13, que tinha sido encontrado, a taxa de juros de 8,899% ao mês, o que confirma a taxa de juros que tinha sido arbitrada.

Este é um caso em que os valores são dados pela mesma variável aleatória (série uniforme):

A média será:

F_µ= F.p

E o desvio-padrão será:

Fs = F.(p.q)^0,5

a) o cálculo do valor presente líquido médio é:

VPL_µ = F.p[/(1+I)ⁿ-1]/[I.(1+I)ⁿ]


b) o cálculo do desvio-padrão do valor presente líquido é:

VPLs = F.(p.q)^0,5 = {[ (1+I)²ⁿ-1]/[(1+I)²ⁿ-1] . [(1+I)²ⁿ] + (2/I) . ∑ [(1+I)^n-1-1]/(1+I)]^n+j}^0,5

Consideremos o caso de um fluxo de caixa único, representado pela variável aleatória F, a ser resgatado, em uma data prefixada. Em função do risco envolvido, o valor resgatado poderá ser 100% do valor de face ou uma proporção do mesmo.

Indicando por F o valor de face do título, pode-se considerar um conjunto de eventos e os respectivos valores de resgate como proporções de F. Assim, os valores de resgate podem ser da seguinte forma: 1.F, r1.F, r2.F, ..., rk.F, onde 0 ≤ r1, r2, ..., rk < 1.

Uma distribuição de probabilidades com essas características pode ser representada pela seguinte tabela:

A média é:

F_µ= E[F] = F.p + F.r1.q1 + F.r2.q2 +...+ F.rk.qk

E[F²] = F².p + F².r1²q1 + F².r₂²q2 +...+ F².rk²qk

Aí, pode-se calcular o desvio-padrão:

ou

Indicando por: T = p+r₁²q1+r₂²q2+...+r_k²qk e Q = p + r₁q1 + r₂q2 +...+ r_kqk, tem-se:

Consideremos o exame de um crédito dado por um banco, em que o F é o valor a ser pago ao final de um prazo de d dias, pela empresa que contraiu o empréstimo.

Para a elaboração do critério teremos quatro etapas a cumprir:

Considere-se a distribuição de probabilidades dada pelos seguintes eventos:

a) liquidação da operação na data d1, recebendo a quantia F.
b) liquidação da operação, após negociação, com perdas por atraso de pagamento. O valor recebido é dado r1. F, em que 0 ≤ r1 < 1.
c) liquidação da operação após cobrança judicial. O valor recebido, equivalente na data d1 é dado por r2. F, com 0 ≤ r2 < 1.
d) liquidação da operação após concordata da empresa. O valor recebido, equivalente na data d1 é dado por r3. F, com 0 ≤ r3 < 1.
e) liquidação da operação após concordata da empresa. O valor recebido, equivalente na data d1 é dado por r4.F, com 0 ≤ r4 < 1. Pode-se considerar r4=0.

Para cada R$1,00 na data de liquidação, tem-se F=1,00; r1=0,9; r2=0,6; r3=0,2 e r4=0.

Com 0 ≤ r1,r2,r3,r4 < 1

A média é:

E[F] = _µ = (1x0,9) + (0,9x0,06) + (0,6x0,025) + (0,2x0,01) + (0x0,005) = 0,971

E[F2] = (12x0,9) + (0,92x0,06) + (0,62x0,025) + (02x0,005) = 0,958

E o desvio-padrão é:

S = [0,958-(0,9712)]^0,5 = 0,123

O coeficiente de variação crítico é:

CV*=0,123/0,971 = 0,1267 ou 12,67%

Neste módulo, foi visto que é possível utilizar a distribuição de Bernoulli, como forma de aplicação da matemática financeira avançada, para estabelecer uma classificação dos bancos quanto ao risco e dar tratamento quantitativo ao processo decisório do crédito, quando se trata de desenvolver resoluções para o tratamento do fluxo de caixa como variáveis aleatórias, com cálculo do valor presente médio, desvio-padrão e coeficiente de variação dos fluxos de caixa.

A distribuição de Bernoulli para o valor futuro F caracteriza-se por assumir dois valores: o valor F com probabilidade p (para os casos de sucesso), e valor zero com probabilidade q (para os casos de insucesso), em que p + q = 1.